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O+P Fluidtechnik 1-2/2016

O+P Fluidtechnik 1-2/2016

ANTRIEBE FORSCHUNG UND

ANTRIEBE FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG PEER REVIEWED nischen Wellenleistung mit P S und der Wärmestrom mit . Die Wellenleistung ist das Skalarprodukt von Wellenmoment und Winkelgeschwindigkeit der Welle oder das Skalarprodukt von Stangenkraft und Stangengeschwindigkeit : Für Arbeitsmaschinen sind P S und Δh t jeweils größer Null, für Kraftmaschinen jeweils kleiner Null. Spricht der Ingenieur vom isentropen Wirkungsgrad einer Maschine, so ist der Fall einer wärmeisolierten, d. h. adiabaten Maschine gemeint. Der Wärmestrom in (1) ist dann identisch Null. Die Differenz der Totalenthalpie kann in einen idealen Anteil Δh t,s bei konstanter Entropie s und einen Verlustanteil h l aufgeteilt werden, sodass gilt: Der Enthalpieverlust h l ist mit einer Entropieproduktion durch innere Reibung verknüpft. Der Exponent +1 in Gleichung (3) gilt für Arbeitsmaschinen, der Exponent -1 für Kraftmaschinen. Im Folgenden liegt der Fokus auf Arbeitsmaschinen. Eine Ausweitung auf Kraftmaschinen gelingt aber ganz entsprechend. Der adiabate (oder isentrope) Wirkungsgrad η, definiert durch Gleichung (4), bemisst die dissipativen Leistungsverluste h l in der Maschine. Aus dem ersten Hauptsatz (3) folgen die drei Identitäten: Die isentrope Enthalpieänderung in einer Verdrängermaschine wird in Bild 01 anhand des p-v-Diagramms (auch als Indikatordiagramm bezeichnet) veranschaulicht, bei dem der Druck p über dem spezifischen Volumen v = 1/ρ aufgetragen ist. Das Schadvolumen wird in dieser Darstellung als vernachlässigbar klein angenommen. Kommt es zu einer Entspannung des Schadvolumens, dann ist die damit verbundene technische Arbeit in den meisten Fällen vernachlässigbar klein, so dass diese Näherung für die hier allein verfolgte energetische Betrachtung zielführend ist. Bekanntermaßen begrenzt das Schadvolumen aber das maximal mögliche Druckverhältnis, bei dem eine Förderung noch stattfinden kann [Pel13][Fis84]. 01 Isentrope Enthalpieänderung für eine Arbeitsmaschine im p-v-Diagramm bei vernachlässigtem Schadvolumen Die isentrope Enthalpieänderung, die auch als technische Arbeit oder spezifische Stutzenarbeit bezeichnet wird, berechnet sich als mit dem spezifischen Volumen v und dem statischen Druck p, wobei der kinetische Anteil vernachlässigt wird. Für diesen Fall entspricht dann die isentrope Totalenthalpie Δh t,s der isentropen Enthalpie Δh s . Bisher waren alle Aussagen noch gleichermaßen gültig für gasförmige und tropfbare Medien. Im Folgenden erfolgt eine Beschränkung auf tropfbare Medien (Öl, Wasser, Suspensionen, …). Werden „sehr hohe“ Drücke erreicht, wie dies bei Verdrängermaschinen der Fall sein kann, muss die Nachgiebigkeit κ des Fördermediums und ggf. der Maschine berücksichtigt werden. Bekanntermaßen addieren sich die Nachgiebigkeiten. Die Nachgiebigkeit bei konstanter Entropie s ist definiert als v v Für ein tropfbares Medium wird die Nachgiebigkeit als näherungsweise konstant angenommen. Mittels der so erfolgten Linearisierung berechnet sich die isentrope Enthalpieänderung zu mit der Änderung des statischen Drucks Δp und des spezifischen Volumens v 1 bei niedrigem Druckniveau (vgl. auch Frömel [Frö71]). Durch Einsetzen von Gleichung (7) in (4) berechnet sich der Wirkungsgrad mit dem saugseitigen Volumenstrom Q 1 zu Der adiabate (isentrope) Wirkungsgrad nach Gleichung (8) berücksichtigt im Gegensatz zur Wirkungsgraddefinition nach DIN 4391 und VDMA-Einheitsblatt 24280 die Änderung der inneren Energie des Fördermediums infolge Nachgiebigkeit. Aus energetischer Sicht muss daher η im Folgenden weiter betrachtet werden. In vielen praktischen Fällen ist die spezifische, d. h. dimensionslose, Nachgiebigkeit κΔp aber so klein, dass ihr Einfluss vernachlässigbar ist und der in Normen definierte Wirkungsgrad vom adiabaten Wirkungsgrad praktisch nicht unterscheidbar ist. Eine Diskussion hierzu findet sich auch bei Palmen und Murrenhoff [Pal07], wobei dort ausgeführt wird, dass die Leistung Q 1 κΔp 2 /2 technisch nur schwer nutzbar sei. Dessen ungeachtet ist es aber nicht notwendig, den Einfluss von κΔp zu vernachlässigen, weshalb hier darauf verzichtet wird. Durch die Erweiterung der Wirkungsgraddefinition mit dem Verdrängervolumen V ist die Aufteilung in einen volumetrischen Wirkungsgrad η vol und einen mechanisch-hydraulischen Wirkungsgrad η mh möglich und üblich: Die Wellenleistung P S wird in diesem Fall durch das Produkt aus Wellenmoment M S und Drehzahl n dargestellt. Der volumetrische Wirkungsgrad ist das Verhältnis von Förderstrom und theoretisch möglichem Förderstrom und damit ein Maß für die Leckageverluste. Der mechanisch-hydraulische Wirkungsgrad ist das Verhältnis aus hydraulischer Arbeit und Wellenarbeit pro Umdrehung. Er stellt ein Maß für die mechanisch-hydraulischen Verluste dar. Die 106 O+P – Ölhydraulik und Pneumatik 1-2/2016

ANTRIEBE Nachgiebigkeit wirkt sich auf die zu leistende Enthalpieänderung (s. Bild 01) aus. Sie verringert im Vergleich zu einem inkompressiblen Fördermedium die erforderliche Wellenarbeit und ist folgerichtig im mechanisch-hydraulischen Wirkungsgrad zu berücksichtigen (vgl. [Pal07]). Hinsichtlich der Modellierung ist es sinnvoll, die Teilwirkungsgrade getrennt voneinander zu betrachten, da Leckage und mechanisch-hydraulische Verluste jeweils durch unterschiedliche physikalische Wirkprinzipien entstehen. Der volumetrische Wirkungsgrad lässt sich mittels der Leckage Q L als Gleichung (10). Gleichung (13) stellt den volumetrischen Wirkungsgrad als Funktion der drei dimensionslosen Größen Re, Δp + und ψ dar. Die Leckagefunktion (12) wird im folgenden Abschnitt weiter behandelt. Die Dimensionsanalyse liefert zunächst kein über Gleichung (12) hinausgehendes Ergebnis. Der mechanisch-hydraulische Wirkungsgrad η mh wird entsprechend Gleichung (9) als Quotient aus hydraulischer Arbeit und Wellenarbeit pro Umdrehung definiert. Das Wellenmoment M S ergibt sich aus der Summe von hydraulischem Nutzmoment und mechanisch-hydraulischem Reibmoment M mh zu definieren. Gelingt es, die Leckage zu beschreiben, ist der volumetrische Wirkungsgrad bekannt. Als Methode wird die Dimensionsanalyse verwendet [Spu92], die bereits von Galileo Galilei verwendet wurde. Die erste schriftliche Darstellung des Grundgedankens der Dimensionsanalyse findet sich bei Fourier [Fou78]. Sinngemäß schreibt Fourier, dass physikalisch-technische Zusammenhänge unabhängig von der Wahl des Einheitensystems sein müssen. Heute ist dies als Bridgman-Postulat bekannt [Bri22]. Wird die redundante Information des Maßsystems aus einem Zusammenhang eliminiert, reduziert sich dieser auf dimensionslose Größen von verminderter Anzahl. Die physikalischen Größen, die die Leckage Q L beeinflussen, sind der Förderdruck Δp, das Verdrängervolumen V, die kinematische Viskosität ν = μ/ρ, die Dichte ρ sowie das Spaltmaß s. Experimentelle Untersuchungen am Institut für Fluidsystemtechnik der TU Darmstadt haben gezeigt, dass die Drehzahl nur einen sehr geringen Einfluss auf die Leckage von Verdrängermaschinen im Nennbetriebsbereich hat und in der Regel vernachlässigt werden kann [Cor14], d. h. der Schleppanteil der Leckage ist gegenüber dem druckgetriebenen Anteil vernachlässigbar. Es wird zunächst die Hypothese getroffen, dass dies für alle hier betrachteten Maschinen gilt. In der Tat bestätigen die Vielzahl der Maschinendaten diese Hypothese, wie im Folgenden gezeigt wird. Aus der Dimensionsanalyse ergeben sich folgende drei dimensionslose Produkte: Das mechanisch-hydraulische Reibmoment umfasst die Summe aus mechanischer und viskoser Reibung. Der mechanisch-hydraulische Wirkungsgrad lässt sich in Abhängigkeit dieses Reibmoments als darstellen. Analog zur Leckage, wird die Dimensionsanalyse auch für das mechanisch-hydraulische Reibmoments M mh verwendet. Zur Bestimmung der Einflussgrößen des Reibmoments M mh ist die Kenntnis der auftretenden Verlustmechanismen hilfreich und notwendig. Die mechanisch-hydraulischen Verluste setzen sich aus Coulombschen Reibverlusten, viskoser Reibung sowie Trägheitsverlusten (Planschverluste, Ein- und Austrittsverluste) zusammen. Als physikalische Einflussgrößen auf das Reibmoment M mh lassen sich folglich der Förderdruck Δp, das Verdrängervolumen V, die Drehzahl n, die kinematische Viskosität ν, die Dichte ρ sowie das Spaltmaß s bestimmen. Aus der Dimensionsanalyse ergeben sich die vier dimensionslosen Produkte: Ganz analog zur Leckage gilt es also auch für das spezifische Reibmoment einen funktionalen Zusammenhang mit der spezifischen Leckage , dem spezifischen Förderdruck Δp + und dem relativen Spalt ψ. Tatsächlich reduziert die Dimensionsanalyse die Zahl der Parameter von sechs dimensionsbehafteten Größen auf drei dimensionslose Größen, mit denen das Leckageverhalten beschrieben werden kann. An dieser Stelle ist anzumerken, dass die Dimensionsanalyse nicht eindeutig ist. Interessant ist der spezifische Förderdruck Δp + . Hier wurde die Druckdifferenz Δp mit einer der Flüssigkeit innewohnenden Materialkraft ν 2 ρ entdimensioniert. Die Inspiration hierfür stammt aus einer Arbeit von Purcell [Pur76]. Es gilt für die spezifische Leckage einen funktionalen Zusammenhang aufzustellen. Gleichung (15) nimmt damit folgende Form an: Der funktionale Zusammenhang für das spezifische Reibmoment (17) wird im folgenden Abschnitt weiter behandelt. Die Zusammenführung des volumetrischen Wirkungsgrads nach Gleichung (13) und des mechanisch-hydraulischen Wirkungsgrads (18) zum Gesamtwirkungsgrad nach Gleichung (9) ergibt das gesuchte Ergebnis: zwischen den drei dimensionslosen Größen aufzustellen und für die Beschreibung des volumetrischen Wirkungsgrads wie folgt zu verwenden: Die Reynoldszahl Re ergibt sich nach Einsetzen der spezifischen Leckage aus Gleichung (11) in die Wirkungsgraddefinition aus Die Darstellung (19) gilt ganz allgemein und ohne Einschränkung für Verdrängermaschinen, die als Arbeitsmaschinen für tropfbare Medien arbeiten, d. h. für Verdrängerpumpen. Für Kraftmaschinen, d. h. Hydromotoren, gilt der Kehrwert, wie die Wirkungsgraddefinition in Gleichung (3) nahelegt. O+P – Ölhydraulik und Pneumatik 1-2/2016 107

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