Aufrufe
vor 2 Monaten

O+P Fluidtechnik 1-2/2017

O+P Fluidtechnik 1-2/2017

SIMULATION FORSCHUNG UND

SIMULATION FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG PEER REVIEWED druck T(t) sowie die Gastemperatur p(t) im Zylindervolumen als räumlich gemittelt zu betrachten. Die räumliche Auflösung von Impuls- und Temperaturgrenzschicht ist möglich [Pel09], [Pro77], soll hier aber nicht weiter betrachtet werden. (ii) Zustandsgleichungen Das Gas wird als kalorisch und thermisch ideal betrachtet. Damit gelten die kalorischen Zustandsgleichungen für innere Energie e = c v T + const, Enthalpie h = c p T + const sowie die thermische Zustandsgleichung p = RT mit der Dichte sowie der spezifischen Gaskonstanten R = c p – c v . Eine Anpassung auf Realgas ist ohne weiteres durch die Verwendung entsprechender Realgasgleichungen möglich. (iii) Sorption Das Sorbens wird geometrisch durch die Porosität ε : = lim ∆V / ∆V ∆Vsorb →0 void sorb sowie durch die spezifische Oberfläche s: = lim ∆Asorb / ⎡( 1−ε ) ∆Vsorb ⎤ ∆Vsorb →0 ⎣ ⎦ beschrieben (Bild 01 b). Bei einer Kugelschüttung bzw. einem Vliesstoff mit dem mittleren Kugel- oder Fadendurchmesser d gilt aus Dimensionsgründen s = s + (ε)/d. Gasmoleküle werden adsorbiert wobei die Bindungsenergie E A frei wird. Zur Desorption wird die Bindungsenergie aus der Umgebung der Oberfläche zugeführt. Im Gleichgewicht ist bei einer linearen Sorptionsisothermen die flächenspezifische Masse an angelagerten Molekülen q proportional dem Gasdruck: q = q'p, mit q': = ∂q/∂p| T als druckspezifischer Sorbensbeladung. In der Modellbildung könnten die γγ = AMPLITUDE PHASE δδ in Grad 1.4 1 90 45 9.8 qq + ′ = 0 0.841 4.205 0 10 -2 10 0 10 2 10 4 0 10 -2 10 0 10 2 10 4 Gasbestandteile auch über die Partialdrücke getrennt behandelt werden. Ebenso ist es möglich die lineare Sorptionsisotherme durch nichtlineare Isothermen (z. B. Langmuir-Isotherme) zu ersetzen [Rut84], [Pro89], [Pel00]. Aus der Kontinuitäts-, Energie- und Zustandsgleichung unter den genannten drei Modellvoraussetzungen (i) bis (iii) folgt das Evolutionsmodell für den thermodynamischen Zustand des Gases im Hydrospeicher und damit für das Arbeitsvermögen. Das Modell ist eine Erweiterung des vom Erstautor entwickelten Modells zur Berechnung von Luftfedern und Luftdämpfern ADASS (Air Damping Air Spring Simulation), welches heute bei den Unternehmen Vibracoustic und Daimler zur Auslegung von pneumatischen Fahrwerkssystemen im Einsatz ist [Pel07]. Im Folgenden werden nichtlineare Kontinuitätsgleichung, Energiegleichung und Zustandsgleichung für die Prozesse dargestellt. Die Kontinuitätsgleichung führt auf die Evolutionsgleichung wobei m& perm ein Massenstrom infolge Permeation durch Membran oder Dichtung berücksichtigt. Der damit verbundene Masseverlust macht sich erst in deutlich längeren Zeiten im Vergleich zur Relaxationszeit τ bemerkbar. Durch den Term auf der rechten Seite der Kontinuitätsgleichung wird das Verhalten des Sorbens beschrieben. Die Struktur der Gleichung legt die Analogie einer Kapazität nahe: Der Fluss (hier der Massenstrom) ergibt sich dabei aus Kapazität multipliziert mit der zeitlichen Ableitung des Potentials (hier die flächenspezifische Masse an angelagerten Molekülen). In diesem Sinne kann dem Sorbens die Rolle einer additiven Kapazität zugeschrieben werden. DRUCK pp + / VV + TEMPERATUR TT + / VV + 8.41 DIMENSIONSLOSE FREQUENZ Ω + γγ − 1 = 02 Dynamisches Verhalten (Übertragungsverhalten) eines Hydrospeichers teilgefüllt mit Sorbens AMPLITUDE PHASE δδ in Grad 4 2 0.4 -90 -135 EE AA+ = 0.0082 γγ = 1.4 0 10 -2 10 0 10 2 10 4 -180 10 -2 10 0 10 2 10 4 DIMENSIONSLOSE FREQUENZ Ω + 44 O+P Fluidtechnik 1-2/2017

SIMULATION In der Energiegleichung taucht zusätzlich zum Wärmestrom in die Umgebung auf der rechten Seite die Wärmequelle durch die Sorptionsvorgänge auf. Bei der Adsorption wird die Bindungsenergie E A frei und dem Gas zugeführt, bei der Desorption wird die Bindungsenergie dem Gas mit molarer Masse M entnommen: Das Ergebnis der inspektionellen Dimensionsanalyse sind die vier dimensionslosen Parameter Dabei ist die Änderung der inneren Energie des Sorbens aufgrund der geringen Sorbensmasse in der Regel vernachlässigbar klein. Um das System zu schließen ist die thermische Zustandsgleichung (alternativ kommt hier ein Realgasfaktor zum Einsatz) sowie das Sorptionsgleichgewicht q= q( pT , ) ( 1d ) notwendig. Das System kann dann bei bekanntem Anfangszustand ( 0 ) = , ( 0 ) = = ( 1 ) p p T T T e 0 0 u gelöst werden, wenn zusätzlich noch ein Diffusionsmodell für den Permeationstrom formuliert wird. Unbekannt sind absoluter Gasdruck p, Gastemperatur T, Gasdichte und Gasvolumen V. Hierfür stehen die vier Gleichungen (1a) bis (1c) zur Verfügung. Wird beispielsweise bei einer kinematischen Erregung der Volumenstrom Q(t) vorgegeben, ergibt sich das Speichervolumen V im ersten Term der Kontinuitätsgleichung und Energiegleichung über das Zeitintegral t () = + () V t V Q t dt 0 ∫ 0 4. ANALYSE DES DYNAMISCHEN VERHALTENS EINES HYDROSPEICHERS MIT SORBENTIEN Im Folgenden wird das entwickelte Modell für den speziellen Fall, bei vernachlässigter Permeation, d. h. m & perm = 0 und bei linearer Sorptionsisothermen, d.h. q̇ = qp ′ ̇, , näher betrachtet: E pV ̇ + Qγ p+ γ − kAT− T0 = γ − Asorb qp ′ b M A ( 1) ( ) ( 1 ) ̇, ( 2 ) die den Hydrospeicher eindeutig charakterisieren. Die dimensionslose Frequenz Ω + ist das Produkt aus Relaxationszeit τ und Erregerfrequenz Ω und kann bekanntermaßen als Maß für das zeitliche Verhalten herangezogen werden (Ω + 1 entspricht einem isentropen, Ω + 1 einem isotherm Verhalten). Die dimensionslose Sorbensbeladung q' + beschreibt das Sorbensmaterial und stellt das Verhältnis aus adsorbierter Gasmasse m 0,adsorbiert und freier Gasmasse m 0,frei bei Anfangsbedingungen dar. q' + ist somit ein Maß für das Sorptionsvermögen des Speichers und kann einfach durch eine Messung bestimmt werden. Die dimensionslose Bindungsenergie E A+ stellt das Verhältnis aus Bindungsenergie und innerer Energie bei Anfangs bedingungen dar und ist somit ein Maß für die innere Wärmequelle des Speichers. γ ist der Isentropenexponent des Gases. Das dynamische Verhalten des Speichers lässt sich bereits mit „Papier und Bleistift“ aus Modell (4) herleiten, indem das nichtlineare Anfangswertproblem mittels Störansatz linearisiert und gleichzeitig in den Frequenzraum transformiert wird. Hierfür dient der Ansatz p 1 Re(1 ˆ + = + p̃ + = + p+ expi Ωt), ϲ+ = 1 + ̃ ϲ+ = Re(1 + ϲˆ + expi Ωt), T 1 T Re(1 Tˆ + = + ̃ + = + + expi Ωt), V = 1 + Ṽ = Re(1 + Vˆ expi Ωt), + + + miti= −. 1 Aus dem Anfangswertproblem (4) folgt damit die algebraische Form für den eingeschwungenen Zustand ( 0 ) = , ( 0 ) = = . ( 2 ) p p T T T d 0 0 u Die inspektionelle Dimensionsanalyse [Spu92] motiviert bei einer harmonischen Erregung mit der Zykluszeit 2π/Ω die Einführung der dimensionslosen Größen ˆ 1 p V Tˆ E q p b ' ˆ ˆ + + γ + + + = A+ + + , 6 i Ω+ ( ) Das lineare Modell (6) ist als lineares Gleichungssystem darstellbar Die komplexe und dimensionslose dynamische Steifigkeit pˆ / Vˆ ergibt sich mittels Cramerscher-Regel + + sowie die dimensionslose Formulierung des Gleichungssystems (2): ⎛−1 0 1 ⎞ det ⎜ 1/i 0 ⎟ −γ Ω+ pˆ ⎜ 0 −1 − 1⎟ 1+γi Ω = ⎝ ⎠ =− Vˆ q q E q + + ' ' ' + ⎛ + 0 1 ⎞ 1+ + + iΩ+ 1− + + ⎜ ' ⎟ det 1− EA+ q+ 1/iΩ+ 0 ⎜ ⎜ ⎝ 1 −1 ⎟ −1⎟ ⎠ ( A ) ( 8) O+P Fluidtechnik 1-2/2017 45

© 2016 by Vereinigte Fachverlage GmbH. Alle Rechte vorbehalten.