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O+P Fluidtechnik 1-2/2017

O+P Fluidtechnik 1-2/2017

SIMULATION FORSCHUNG UND

SIMULATION FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG PEER REVIEWED γγ = AMPLITUDE 1.4 1 qq + ′ = 0 0.841 4.205 DRUCK pp + / VV + TEMPERATUR TT + / VV + 8.41 0 10 -2 10 0 10 2 10 4 DIMENSIONSLOSE FREQUENZ Ω + γγ − 1 = 03 Dynamisches Verhalten (Übertragungsverhalten) eines Hydrospeichers teilgefüllt mit Sorbens, Vergleich der Linearisierung mit numerischer Berechnung des Modells pp + pp + 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 VV + 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 04 Hysteresekurven für vier verschiedene Hydrospeicher; die rote Linie ist die isentrope Zustandsänderung, die blaue Linie ist die isotherme Zustandsänderung und die schwarze Linie die Zustandsänderung für Ω + = 1 pp + AMPLITUDE -0.1 4 2 0.4 EE AA+ = 0.0082 EE AA+ = 0.0082 γγ = 1.4 γγ = 1.4 VV + = 0.1 0 10 -2 10 0 10 2 10 4 DIMENSIONSLOSE FREQUENZ Ω + -0.2 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 VV + ′ 0.2 qq + = 4.205 0.1 0 -0.1 VV + pp + 0.2 qq ′ + = 0 qq ′ + = 0.841 ISENTROP 0.1 0 ISOTHERM qq + ′ = 8.41, EE AA+ = 0.0082 VV + = 0.1, Ω + = 1, γγ = 1.4 -0.2 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 VV + 46 O+P Fluidtechnik 1-2/2017

SIMULATION aus dem Gleichungssystem (7) und dient der Charakterisierung des Speicherverhaltens. Bild 2 stellt in diesem Sinne die dynamische Steifigkeit in Abhängigkeit der Frequenz dar. Zunächst werden die beiden Grenzfälle näher betrachtet. Für Ω + → 0 (Grenzfall ∆t τ, d.h. der isotherme Fall) ist der Betrag der dimensionslosen Steifigkeit 1/(1+q' + ). Im Gegensatz dazu hat ein konventioneller Hydrospeicher (Bild 1a) die Asymptote Eins. Bei einem Hydrospeicher mit Sorbentien sinkt die Steifigkeit für den betrachteten isothermen Grenzfall durch die Adsorption der Gasmoleküle. Dieses Verhalten belegt die angesprochene Wirkungsweise als zusätzlich parallel geschaltete Kapazität. Ein Hydrospeicher mit Sorbentien erreicht bei gleicher Anregung niedrigere Drücke. Für den zweiten Fall Ω + → ∞ (das ist der Grenzfall ∆t τ, d.h. der isentrope Fall) erreicht die dimensionslose Steifigkeit den Betrag γ/(1 – E A+ q' + ). Bei einem Hydrospeicher mit Sorbentien steigt also die dimensionslose Steifigkeit im Vergleich zum konventionellen Speicher, der die Asymptote γ erreicht. Der Übergangsbereich der beiden Grenzfälle liegt bei dimensionslosen Frequenzen von 0.1 < Ω + < 100. Aus den bisherigen Ergebnissen ist ersichtlich, dass der Übergangsbereich im Falle eines Hydrospeichers mit Sorbentien einen höheren Gradienten aufweist. Die Phasenverschiebung im Übergangsbereich nimmt ebenfalls zu. Neben der dynamischen Steifigkeit ist in Bild 02 ebenfalls das Temperaturverhalten für verschiedene dimensionslose Sorbensbeladungen q' + über der dimensionslosen Frequenz Ω + aufgetragen. Die Berechnung des Temperaturverhaltens erfolgt analog unter Anwendung der Cramerschen Regel und es ergibt sich Für Ω + → 0 verhält sich der Speicher wie bereits erwähnt isotherm. Für Ω + → ∞ steigt die Temperatur des Gases eines Speichers mit Sorbentien im Gegensatz zum konventionellen Speicher. Die Temperatursteigung ist nach Gleichung (7) stark abhängig von den Sorptionseigenschaften q' + und E A+ . An diesem Punkt ist deutlich das Verhalten des Sorbens als Wärmequelle erkennbar. Alternativ zur Lösung mit „Papier und Bleistift“ kann das nichtlineare Differentialgleichungssytem (4) auch numerisch gelöst werden. In diesem Fall wird eine Anregung, z. B. der Volumenstrom, vorgegeben und anschließend die Druck- und Temperaturantwort des Speichers numerisch berechnet. Hier dient die numerische Lösung der Überprüfung der Linearisierung. Bild 03 zeigt dabei das aus Bild 02 bekannte Verhalten der Steifigkeit. Die eingetragenen Punkte stellen numerische Lösungen des nichtlinearen Differentialgleichungssystems (4) dar. Es ist deutlich zu erkennen, dass die Linearisierung gerade bei kleinen dimensionslosen Anregungsfrequenzen sehr gute Ergebnisse liefert. Auch der Übergangsbereich zwischen isothermen und isentropen Verhalten wird gut abgebildet. Im Falle hoher dimensionsloser Anregungsfrequenzen kommt es jedoch zu nicht zu vernachlässigenden Abweichungen. Diese Abweichungen sind auf die nichtlinearen Terme des Modells (4) zurückzuführen, die bei zunehmender Anregungsfrequenz an Bedeutung gewinnen. Im nächsten Schritt wird das Speicherverhalten für die vier bereits gezeigten Sorbensbeladungen (q' + = 0, 0.841, 4.205 und 8.41) des Hydrospeichers anhand des p-V-Diagramms diskutiert. Bild 04 zeigt die typischen Hysteresekurven der Hydrospeicher für eine dimensionslose Frequenz von Ω + = 1. Die blauen Kurven kennzeichnen isothermes, die roten Kurve isentropes Verhalten. Für q' + = 0 liegt der konventionelle Hydrospeicher vor, dessen Verhalten bekannt ist. Bei Druckspeichern mit Sorbentien nimmt die Druckamplitude im isentropen Fall (rote Linie) mit steigendem Sorbensanteil leicht zu. Im isothermen Fall (blaue Linie) nimmt die Druckamplitude dagegen mit steigendem Sorbensanteil ab. Dieses Verhalten wurde bereits in Bild 02 deutlich. Für Ω + = 1 sind zwei Punkte des Speicherverhaltens entscheidend. Erstens fällt die Steigung der Hysterese mit zunehmendem Sorbensanteil ab und nähert sich dem isothermen Verhalten an. Dies wird ebenfalls bereits aus Bild 02 deutlich. Zweitens nimmt die Hysteresefläche für Hydrospeicher mit Sorbentien bei steigendem Sorbensanteil ab. Da die Hysteresefläche die Verluste durch Wärmeübertragung an die Umgebung darstellen, motiviert dieses Ergebnis eine Betrachtung des Wirkungsgrads η in Abhängigkeit der dimensionslosen Frequenz und dimensionsloser Sorbensbeladung. Otis [Oti75] stellte 1975 erstmals einen Zusammenhang zwischen Wirkungsgrad und dimensionsloser Frequenz auf und definierte dabei den Wirkungsgrad als 1 qq + ′ = 0 DRUCK 2 ηη = WW 21 |WW 12 | VERLUST 1 WIRKUNGSGRAD ηη 0.98 0.96 0.94 0.92 0.841 4.205 8.41 EE AA+ = 0.0082 γγ = 1.4 VOLUMEN 0.9 10 -2 10 0 10 2 10 4 DIMENSIONSLOSE FREQUENZ ΩΩ + 05 Wirkungsgrad im p-V-Diagramm [Otis75] 06 Wirkungsgradverlauf über der dimensionslosen Frequenz für verschiedene Konfigurationen O+P Fluidtechnik 1-2/2017 47

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