Aufrufe
vor 2 Jahren

O+P Fluidtechnik 11-12/2017

O+P Fluidtechnik 11-12/2017

ANTRIEBE FORSCHUNG UND

ANTRIEBE FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG PEER REVIEWED 02 03 Kräfte- und Flächenbezeichnungen Kolben F Belastung Aktive Kolbentrommel Zylinderfläche (A KT,Zyl) Hochdruckniere Kolbentrommel Steuerspiegel Kolbentrommel mit maßgebenden Flächen und Kräften n tot = 9; n HP = 5; n LP = 4 Kolbenfläche (A Kolben) A Kolben Um das System den vereinfachten analytischen Berechnungen zugänglich zu machen, werden in dieser Arbeit folgende Annahmen und Einschränken getroffen: n Es wirkt nur der statische Druck als kräfteerzeugende Größe und damit keine weiteren Kräfte (beispielsweise Umgebungsdruck, zusätzliche Anpressung, Reibung etc.). n Es tritt keine Bewegung der Kontaktpartner auf, somit ist die Spalthöhe über der Zeit konstant. n Die Kontaktflächen sind eben. Bei Realgeometrien, die einen sphärischen Kontakt aufweisen, wird dieser auf eine Ebene projiziert. n Die Kontaktflächen der Kontaktpartner sind parallel. n Es werden nur Einheiten mit neun Kolben verglichen. Die Berechnungen sind jedoch allgemein gültig und können auf beliebige Kolbenanzahlen angewendet werden. n Der Entlastungsgrad wird für vier und fünf in den Hochdruck eingesteuerte Kolben berechnet bzw. aus der Simulation entnommen und gemittelt. n Dichte und Viskosität werden als konstant angenommen. Sofern in den genannten Arbeiten ein Entlastungsgrad definiert ist, entspricht dieser dem Quotienten der Entlastungs- und Belastungskraft (Gl. 1). Diese Definition wird in dieser Arbeit übernommen. C = FEntlastung / FBelastung Gl.1 Randfläche, Dichtstegfläche (A Rand) F Entlastung r K r 4 r 6 BELASTUNGSKRAFT Drücke in den Kolbenkammern der Kolbentrommel führen entsprechend Bild 2 zu einer andrückenden Kraft auf die Kolbentrommel (Gl. 2). F pn A pn A A Durchgangsöffnungen im Hochdruck (Fläche jeweils A KT, Niere) Stegfläche im Hochdruck (A Steg, HP) A Rand, Segment, A A Steg, HP ϕ HP ϕ KT, Niere, Segment r 3 r 2 A Rand, r Ende Niere 5 r 1 r A Rand, Segment, I m AKT, Niere Niere Belastung,allgemein = HP KT,Zyl = HP ( Kolben − KT,Niere ) Gl.2 Gemäß Bild 3 beschreibt n HP die Anzahl der in den Hochdruck eingesteuerten Kolben. Im weiteren Verlauf wird gezeigt, dass verschiedene Berechnungsmodelle an dieser Stelle eine Vereinfachung vornehmen und die Fläche A KT,Niere nicht explizit berücksichtigen. Stattdessen wird angenommen, dass eine aktive Belastungsfläche entsprechend der Kolbenfläche wirkt, die Kolbentrommel also keine Durchgangsöffnung aufweist. Als Entlastungsfläche wird in diesem Fall die Nierenfläche der Stegfläche hinzuaddiert. Dies vereinfacht die Berechnung beider Flächen, führt jedoch dazu, dass Zähler und Nenner in Gl. 1 einen zusätzlichen Summanden erhalten, der keine physikalische Entsprechung besitzt. Somit verlieren die Bezeichnungen „Belastungs-“ und „Entlastungskraft“ ihre Gültigkeit, da diese zu hohe Werte annehmen. Ein Beispiel verdeutlicht die Wirkung dieser Vereinfachung auf das Ergebnis 62 O+P Fluidtechnik 11-12/2017

ANTRIEBE der Berechnung: Im Extremfall werden die Zylinderbohrungen als Durchgangsbohrungen ausgeführt und ergeben somit gleichzeitig die Durchgangsöffnungen, sodass keine aktive Fläche für ein Andrücken der Kolbentrommel sorgt. Für diesen Fall wird die tatsächliche Belastungskraft zu null (Gl. 2) (da A Kolben = A KT,Niere ) und der Entlastungsgrad (Gl. 1) nimmt einen unendlich hohen Wert an. Dieser Fall wird bei der beschriebenen Vereinfachung der Berechnung nicht berücksichtigt, sodass sich selbst in diesem Extremfall ein vermeintlich interpretierbarer Wert ergibt, der jedoch keine technische Aussage erlaubt. ANALYTISCHE VERGLEICHSRECHNUNG UND STATISCHE KRAFTREAKTION Tabelle 1 gibt einen Überblick über die ausgewählten Berechnungsmethoden und die weitere Kennzeichnung im Verlauf dieser Arbeit. Für die Berechnung der Entlastungskraft, die durch das Druckfeld im Kontakt resultiert, muss dessen Verlauf bekannt sein. Alle Berechnungsmethoden erfordern eine Druckverlaufsbeschreibung über den mit A Rand (Bild 2) bezeichneten Bereich, die im Folgenden hergeleitet wird. ENTLASTUNGSKRAFT UND DRUCKVERLAUF ÜBER DEM DICHTSTEG In Bild 3 sind die im Verlauf aller Berechnungen verwendeten Variablen gekennzeichnet, die die Oberfläche des Kontaktes definieren. ϕ HP überstreicht in der Darstellung fünf Nieren, kann jedoch je nach Winkelstellung auch den Winkel über vier Nieren bezeichnen. Durchgangsöffnungen und Stegflächen (A Steg,HP ) liegen vollständig im Bereich des Hochdrucks (vgl. Bild 2). Über die Dichtstege (A Rand,Segment ) fällt dieser bis auf den umgebenden Druck ab. Ausgangspunkt für die Berechnung des Druckverlaufes über A Rand,Segment ist die Reynoldsgleichung, die in allgemeiner Form in Gl. 3 dargestellt ist. ( ) ∂ 3 ϲ h ⎛ϲh ⎞ h ( vt vb) ⎛ ϲ +∇⋅ ⎜ + ⎟−∇⋅⎜ ∇ p ⎞ ⎟= 0 Gl.3 ∂t ⎝ 2 ⎠ ⎝12η ⎠ Quetschöl Scherströmung Druckströmung Der Quetschölterm berücksichtigt einen Druckaufbau in Folge einer zeitlich veränderten Spalthöhe (∂h/∂t) und der Scherströmungsterm die Bewegung des unteren oder oberen Kontaktpartners (v b bzw. v t ). Durch die Vorgabe einer konstanten, zeitlich nicht veränderlichen Spalthöhe sowie der Betrachtung im Stillstand, werden diese beiden Terme zu null. Übrig bleibt der Druckströmungsterm, der sich unter Annahme einer konstanten Viskosität (η), Dichte (ϱ) und Spalthöhe (h) zu Gl. 4 vereinfacht. Für eine detaillierte, analytische Betrachtung der Druckverhältnisse mit Berücksichtigung einer nicht parallelen Spaltverteilung wird an dieser Stelle auf [Ber08] verwiesen. 2 ∇ p = 0 Gl.4 Ausgeschrieben in Zylinderkoordinaten ergibt sich Gl. 5. 2 2 1 ∂ ⎛ ∂p⎞ 1 ∂ p ∂ p 1 ∂ ⎛ ∂p⎞ ⎜r ⎟+ + = 0 ⇒ r 0 Gl.5 2 2 2 r r r r ϕ a 0 z = ⎜ ⎟= ∂ ⎝ ∂ ⎠ ∂ ∂ r ∂r⎝ ∂r ⎠ a b b= 0 Mit der Annahme, dass das Druckfeld keine Änderung über dem Umfang (ϕ) erfährt sowie über der Spalthöhe (z) konstant ist, entfallen die Terme a und b und es ergibt sich die eingerahmte, gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Diese kann in die Form der ersten Ordnung überführt werden und entsprechend Gl. 6 gelöst werden. Die Konstanten können entsprechend der dargestellten Randbedingungen ermittelt werden. Zunächst werden diese allgemein gehalten und nehmen einen Druck p I am inneren Radius R I und einen Druck p A am äußeren Radius R A an. Schlussendlich ergibt sich Gl. 7 als radiusabhängiger Druckverlauf. Bild 4 zeigt beispielhaft einen berechneten Druckverlauf zwischen zwei Platten mit einem ringförmigen Bereich konstanten Druckes (p(r 2 ) = p(r 3 ) = 300 bar) sowie drucklosem Innen- und Außendurchmesser (p(r 1 ) = p(r 4 ) = 0 bar). Gleichung Gl. 7 wurde hierzu separat auf den inneren- und den äußeren Ring angewendet. Für die Berechnung der Kraft in Folge des Druckfeldes wird dieses über der Ringfläche integriert (Gl. 8). 2πRA 2 2 ( ) ϕ π ( ) ∫∫ 0 RI 2 2 π ( RA −RI )( pI − pA) 2 ln ( R / R ) F = p r rdrd = p R − pR + Ring A A I I A I Gl.8 Bezogen auf das Beispiel in Bild 4, also der separaten Anwendung von Gl. 8 auf den Innen- sowie den Außenring und unter der Berücksichtigung des konstanten Druckes auf dem mittleren Ring, ergibt sich die Gesamtkraft gemäß Gl. 9, die für einige Berechnungsmethoden verwendet wird. Die letzten beiden Terme heben sich gegenseitig auf und sind nur im Sinne der Vollständigkeit aufgeführt. 01 Tabelle: Berechnungsmethoden und Kennzeichnungen Kennzeichnung Quelle A [Bra65] B [Iva93] C [Man96], [Man00] D [Jan97] E [Don98] X1 Alternativ 1 X2 Alternativ 2 X3 Alternativ 3 Ref Simulation 04 Druckfeldberechnung in Zylinderkoordinaten, Linearisierung des Verlaufes und einhergehende Integrationsvereinfachung (I I , I A ) h z A Ring r 4 r 3 r 2 350 r 1 300 P max p in bar 250 200 I I I A 150 ϕ 100 r 50 1 r 2 r 3 r 4 r 0 0 20 40 60 80 100 120 r in mm O+P Fluidtechnik 11-12/2017 63

Ausgabe

© 2018 by Vereinigte Fachverlage GmbH. Alle Rechte vorbehalten.