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O+P Fluidtechnik 11-12/2017

O+P Fluidtechnik 11-12/2017

ANTRIEBE FORSCHUNG UND

ANTRIEBE FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG PEER REVIEWED Alternativ findet sich der Ansatz eines linearisierten Druckfeldes. Brangs [Bra65] und Jang [Jan96] zeigten, dass diese Linearisierung für die hier verwendeten Geometrien möglich ist. Dies ist zulässig, da die Dichtstege, entgegen der Darstellung in Bild 4, in Relation zum Durchmesser nur eine geringe Ausdehnung besitzen. Somit vereinfacht sich die Kraftberechnung über die Integration in Gl. 8 zu der einfachen Annahme des halben Druckes auf der Ringfläche, wie in Gl. 10 und Bild 4 (rechts, Flächen I I und I A ) gezeigt. Bei der Betrachtung eines Ringsegmentes (vgl. A Rand,Segment in Bild 3) werden die Gleichungen entsprechend dem Winkel ϕ des Ringsegmentes skaliert. Der bisher nicht betrachtete Teil des Druckfeldes ist der Bereich um die Nieren, der im Kontaktbereich liegt und in Bild 3 mit A Rand,Ende gekennzeichnet ist. Ausdehnung und Gestalt dieses Bereiches sowie der Druckverlauf, müssen im Falle einer analytischen Berechnung abgeschätzt werden. Hier liegen ein großer Unsicherheitsfaktor und einer der wesentlichen Unterscheidungsmerkmale der Berechnungsmethoden. Eine Beschreibung erfolgt bei der Betrachtung der jeweiligen Methode. Da der Entlastungsgrad in allen Fällen aus dem Quotienten aus Entlastungs- und Belastungskraft gebildet wird (Gl. 1) und beide linear druckabhängig sind (Gl. 2, Gl. 8, Gl. 9, Gl. 10), kürzt sich der Druck heraus und der Entlastungsgrad entspricht einem Flächenquotienten (Gl. 11). Im Folgenden wird eine kurze Beschreibung der ausgewählten Berechnungsmethoden gegeben, in denen sich die hergeleiteten Zusammenhänge wiederfinden. METHODE A [BRA65] Grundlage der Berechnung bildet die modellhafte Kräftebetrachtung des Steuerspiegels, auf dem Flächen entsprechend Bild 5 (links) definiert werden. Die Bestimmung der Fläche P e (6,8) folgt der Vorstellung, dass der Druck von der Hochdruckniere in Strahlen zum Außenrand radial abfällt. Die inneren Flächen (P e (7,9)) werden durch Spiegelung erzeugt. Die sich ergebende Entlastungsfläche wird gemäß Gl. 12 berechnet, wobei die Konstante c e dem Diagramm in Bild 5 zu entnehmen ist. Für die angreifende Kraft werden die vollen Kolbenflächen für die Rechnung betrachtet, sodass sich die Belastungsfläche nach Gl. 13 ergibt. Eine eindeutige Definition eines Entlastungsgrades erfolgt in [Bra65] nicht. Es wird jedoch beschrieben, dass die Belastungskräfte immer größer als die Entlastungskräfte sein müssen und die Differenz ein Maß für die Sicherheit gegen ein Abheben der Kolbentrommel darstellt. METHODE B [IVA93] Innen- und Außensteg (A Rand,Segment,I , A Rand,Segment,A ) sind mit halbem Hochdruck beaufschlagt. Die Berechnung dieser Methode wird in der Originalquelle unter mehreren Annahmen durchgeführt, sodass die Nierenlänge des sich ergebenen Hochdrucks zu 180° gesetzt werden konnte. Die Nierenenden selbst werden nicht in die Berechnung einbezogen, stattdessen eine Vereinfachung gemäß Bild 6 verwendet. Um allgemeine Geometrien berechnen zu können, wird die ursprüngliche Berechnung so erweitert, dass die Bogenlänge der Niere mitberücksichtigt wird. Das Ergebnis der Originalquelle bleibt für ϕ HP,tot = 180° unverändert. Die Durchgangsöffnungen werden berücksichtigt, sodass sich Gl. 14 ergibt. 2 2 2 2 ( ) ϕ ( ) 2 2 ( r −r ) −n A A = 0,5 ϕ r − r + 0,5 r − r + entl,B HP,tot 2 1 HP,tot 4 3 ϕ HP,tot 3 2 HP Niere Die Belastungsfläche ergibt sich gemäß Gl. 15. BERECHNUNG C [MAN96] Gl.14 Es wird die Vereinfachung getroffen, dass alle Kolben unter Hochdruck stehen und die Entlastung über die vollen Ringflächen erfolgt. Als Zwischenrechnung wird eine „effektive druckbeaufschlagte Fläche“ (A b ) berechnet, die den Flächenanteil beschreibt, der nicht kompensiert ist (Gl. 16). Die Betrachtung erfolgt normiert auf einen Kolben. Der Entlastungsgrad entspricht der bisherigen Definition als „Entlastung geteilt durch Belastung“ gemäß Gl. 17. BERECHNUNG D [JAN97] In dieser Berechnung wird die Nierenlänge wie in Bild 6 dargestellt vereinfacht angenommen und die Nierenenden selbst nicht betrachtet. Gegenüber Methode B werden die Durchgangsöffnungen nicht berücksichtigt. Die Entlastungsfläche ist entsprechend Gl. 18 definiert. Als Belastungsfläche werden die aufsummierten, mit Druck beaufschlagten, vollen Kolbenflächen definiert (Gl. 19). BERECHNUNG E [DON98] Die Berechnung erfolgt analog zu den in Bild 3 definierten Flächen, sodass sich für die Entlastungsfläche Gl. 20 ergibt. Durchgangsöffnungen werden nicht beachtet. 64 O+P Fluidtechnik 11-12/2017

ANTRIEBE 05 Flächenbetrachtung aus [Bra65] (Bild 33, Bild 35) P e 6 P e P a P i ½ p · π · r 5 2 1,5 1,4 Schnitt A-B P e 7 4 1 9 5 8 P e 3 2 p · φ 2 (r32 – r 22 ) Integralwert ce 1,3 1,2 1,1 1 0 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 Radienverhältnis r 4/r m Die Belastungsflächen sind entsprechend die aufsummierten druckbeaufschlagten Kolbenflächen (Gl. 21). 06 Vereinfachung der Nierenform in [Iva93] ALTERNATIVE METHODEN X1, X2 UND X3 ϕ HP, tot ϕ HP ϕ HP, tot Drei weitere Methoden werden zusätzlich in den Vergleich einbezogen, wobei alle die Durchgangsöffnung zu den Zylinderbohrungen berücksichtigen. Die Belastungsfläche ist für alle Alternativmodelle gleich und in Gl. 22 dargestellt. Vereinfachung Allen drei Alternativmethoden ist die Berechnung einer „Stegentlastungsfläche“ gemein. Diese setzt sich aus der druckbeaufschlagten Fläche der Stege im Hochdruck und der mit halbem Druck beaufschlagten Flächen der Umrandung zusammen. Dies ist in Gl. 23 zusammengefasst. Somit wird die zuvor beschriebene Linearisierung des Druckverlaufes angewendet. In einem Vergleich mit dem nichtlinearisierten Verlauf zeigen sich bei den hier untersuchten Geometrien lediglich Abweichungen im Bereich eines zehntel Prozentes in Bezug auf den Entlastungsgrad. Sind Einzelkräfte auf dem inneren oder äußeren Steg von Interesse, so ist diese Vereinfachung nicht zulässig, da die Kräfte am Innensteg allgemein zu gering und am Außensteg zu hoch ausfallen. Nur in Summe gleicht sich dieser Fehler bei den hier untersuchten Abmessungen nahezu aus. In der ersten Methode X1 ist das Nierenende gemäß Bild 3 und Bild 7 als Halbkreis mit dem Radius r 6 um das Ende der Hochdruckniere gewählt. Somit ergibt sich für Methode X1 die Entlastungsfläche gemäß Gl. 24. Die Fläche wird als voller Ring angenommen (jeweils ein halber Ring für jedes Nierenende), der Faktor 0,5 resultiert aus der Annahme des Wirkens des halben Hochdrucks. 07 ϕ Steg 2 Nierenendbetrachtung für Methode X1, X2 und X3 ϕ Nierenende ϕ Steg r ϕ, X3 r ϕ, X2 r 5 r 6 Die vollständig zusammengesetzte Entlastungsfläche der Methode X2 ergibt sich gemäß Gl. 27. r m + + =Zusatzfläche X2 + = Zusatzfläche X3 = Zusatzfläche X1 In Methode X2 und X3 wird das Nierenende durch eine Ellipse dargestellt, in der der Druck dem halben Hochdruck entspricht. Ein Radius der Ellipse entspricht r 6 , der zweite Radius der Bogenlänge r φ,X2 (Gl. 25) bzw. r φ,X3 (Gl. 26). Methode X3 ist der vorhergehenden ähnlich, jedoch wird die Ellipse nur bis zur Mitte des Steges angenommen (Gl. 28). O+P Fluidtechnik 11-12/2017 65

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