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O+P Fluidtechnik 4/2017

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O+P Fluidtechnik 4/2017

VERBINDUNGSELEMENTE

VERBINDUNGSELEMENTE FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG PEER REVIEWED DIE SCHALLGESCHWINDIGKEIT VON FLUIDEN IN NACHGIEBIGEN LEITUNGEN – TEIL I: LEITUNGEN MIT LINEAR-ELASTISCHEM MATERIALVERHALTEN Enrico Pasquini, Hubertus Murrenhoff und Heiko Baum Schallwellen breiten sich in Fluiden langsamer aus, wenn diese in nachgiebigen Leitungen geführt werden. Das Ausmaß, in dem die Schallgeschwindigkeit des reinen Fluids reduziert wird, hängt neben dem Fluid, dem Werkstoff und der Geometrie der Leitung auch von den mechanischen Lagerungsbedingungen der Leitung ab. Am Beispiel des kreiszylindrischen Rohrs mit linear-elastischem Materialverhalten werden die benötigten Zusammenhänge für typische Lagerungsbedingungen hergeleitet. Neben der exakten Lösung wird zusätzlich die in der Literatur häufig anzutreffende Näherung für dünnwandige Rohre angegeben und diskutiert. Die durch die Näherung erreichte Vereinfachung der Gleichungen steht selbst bei im Sinne der DIN 2413 als „dünnwandig“ anzusprechenden Rohren in einem ungünstigen Verhältnis zu den auftretenden Fehlern, weswegen die Verwendung dieser Näherung nicht empfohlen wird. Die Lagerungsbedingungen der Leitung üben bei inkompressiblen Wandwerkstoffen (μ ≈ 0,5) keinen Einfluss auf die effektive Schallgeschwindigkeit aus. Mit abnehmender Querkontraktionszahl steigt der Einfluss der Lagerungsbedingungen auf die Schallgeschwindigkeit; bei Werkstoffen mit μ = 0,3 (z. B. Stahl) unterscheiden sich die Schallgeschwindigkeiten zwischen den einzelnen Lagerungsbedingungen im ungünstigsten Fall um etwa 6 %. Bei fluidtechnisch relevanten Kombinationen von Fluid, Wandwerkstoff und relativer Wandstärke fallen die Unterschiede deutlich geringer aus und sind für überschlägige Rechnungen vernachlässigbar. 66 O+P Fluidtechnik 4/2017

VERBINDUNGSELEMENTE 1. EINLEITUNG Bei der Auslegung von transient durchströmten Rohrleitungen kommt dem Druckstoß häufig die Rolle des dimensionierenden Lastfalls zu. Ein Druckstoß stellt sich beispielsweise dann ein, wenn ein durch eine Rohrleitung strömender Volumenstrom Q infolge eines abrupten Ventilschließvorgangs eine rasche Änderung um ∆Q erfährt. Die Änderung des Impulses der Fluidsäule wird dabei in einen Druckanstieg ∆p umgesetzt. Gemäß der vereinfachten Theorie von Joukowski lässt sich der Druckanstieg aus der folgenden Beziehung ermitteln, wobei a die effektive Schallgeschwindigkeit im Fluid bezeichnet [1]: ρa ∆ p = ∆Q A Die bei einem Druckstoß zu beobachtende Druckerhöhung hängt also wesentlich von der effektiven Schallgeschwindigkeit a ab. Neben der Höhe von Druckstößen beeinflusst die effektive Schallgeschwindigkeit ebenfalls die Frequenzlage von Leitungsresonanzen. Da ein Zusammentreffen der erregenden Frequenzen (z. B. Pulsationsfrequenz einer Kolbenpumpe) und Resonanzfrequenzen der Rohrleitung durch konstruktive Maßnahmen möglichst vermieden werden sollte, wird die effektive Schallgeschwindigkeit teilweise bereits im Entwurfsstadium einer Anlage benötigt. Eine rationelle Dimensionierung von dynamisch belasteten Rohrleitungen setzt daher eine möglichst genaue Kenntnis dieser Größe voraus. Wird das Fluid in einer unendlich steifen Leitung geführt, so entspricht die effektive Schallgeschwindigkeit a der isentropen Schallgeschwindigkeit a s des reinen Fluids. Für Leitungen mit endlicher Steifigkeit ist a teilweise erheblich gegenüber a s reduziert. In der Literatur werden zahlreiche Verfahren zur rechnerischen Ermittlung der effektiven Schallgeschwindigkeit aus Fluideigenschaften und Konstruktionsdaten der Leitung angegeben [2] [3] [4]. Die mitgeteilten Ansätze basieren in der Regel auf vereinfachenden Annahmen bezüglich der Spannungsverteilung innerhalb der Rohrwand. Darüber hinaus wird der Beitrag der Längenänderung der Leitung zur Änderung des von der Leitung umschlossenen Volumens von vielen Autoren vernachlässigt. In der vorliegenden Arbeit wird von diesen Vereinfachungen Abstand genommen; stattdessen erfolgt eine ausführliche Herleitung der exakten Beziehungen zur Ermittlung der effektiven Schallgeschwindigkeit, die um Betrachtungen zur praktischen Anwendung der Gleichungen ergänzt wird. Zunächst werden die wesentlichen physikalischen Grundlagen behandelt. 2. GRUNDLAGEN Die theoretische Ermittlung der effektiven Schallgeschwindigkeit beruht auf der Analyse bestimmter Terme der Kontinuitätsgleichung. Bevor diese Untersuchung durchgeführt wird, werden einige vereinfachende Annahmen eingeführt: n Der durchströmte Querschnitt A der Leitung ist kreisförmig und stets vollständig vom Fluid ausgefüllt. n Die Strömung ist rotationssymmetrisch um die Rohrlängsachse (z-Richtung). Dementsprechend sind die Umfangskomponente u ϕ der Strömungsgeschwindigkeit sowie alle Derivativa der Strömungsgrößen in Umfangsrichtung ∂/∂ϕ gleich Null. n Die Betrachtungen werden auf den Frequenzbereich beschränkt, in dem keine radialen Moden des Fluids oder der Rohrwand erregt werden, weswegen das Strömungsfeld mit den Methoden der eindimensionalen Wellentheorie vollständig beschrieben werden kann. Entsprechend wird der radiale Druckgradient für alle Zeiten und Strömungsformen gleich Null angenommen. n Die mechanischen Eigenschaften des Leitungswerkstoffs sind isotrop. (1) Im Folgenden werden die wichtigsten Grundgleichungen zur rechnerischen Ermittlung der effektiven Schallgeschwindigkeit vorgestellt. 2.1. KONTINUITÄTSGLEICHUNG Unter Berücksichtigung der eingeführten Annahmen reduziert sich die Kontinuitätsgleichung für eine eindimensionale, kompressible Rohrströmung auf folgenden Ausdruck: 1dρ 1 ∂Q 1 dA 1dl + + + = 0 (2) ρ dt A ∂z A dt l dt Für die fluidtechnische Praxis ist die totale Dichteänderung dρ/dt eine wenig anschauliche Größe. Diese wird daher im nächsten Abschnitt unter Verwendung der Definitionsgleichung der isentropen Schallgeschwindigkeit durch die Druckänderung dρ/dt ausgedrückt. Im übernächsten Abschnitt wird gezeigt, wie die Änderung des durchströmten Querschnitts ebenfalls in Abhängigkeit der Druckänderung formuliert werden kann. 2.2. ISENTROPE SCHALLGESCHWINDIGKEIT Die Schallgeschwindigkeit ist ein Maß für die Geschwindigkeit, mit der sich Druckstörungen in einem Medium ausbreiten. Sieht man von viskosen Einflüssen ab, so geschieht die Ausbreitung von Druckstörungen praktisch verlustfrei, d. h. isentrop. Die entsprechende isentrope Schallgeschwindigkeit a s ist durch die folgende, erstmals von Laplace angegebene Beziehung definiert [5]: ⎛ ∂p ⎞ a 2 s : = ⎜ ⎟ (3) ⎝∂ρ ⎠ s Erfolgt die Dichteänderung näherungsweise isentrop (ds ≈ 0), so lässt sich die zeitliche Dichteänderung durch die Druckänderungsrate ausdrücken: dp ⎛ ∂p ⎞ dρ 1 dp lim = = a ⇔ lim = (4) t a t 2 ⎜ ⎟ s ds→0 d 0 2 dρ ρ s→ ⎝∂ ⎠ d s d s Weiterhin kann gezeigt werden, dass das Produkt der Fluiddichte und des Quadrats der isentropen Schallgeschwindigkeit dem isentropen Kompressionsmodul K s des Fluids gleich ist. Damit lässt sich schreiben: 1dρ 1 dp 1 dp = = ρ t ρa t K t 2 d s d s d Der Kompressionsmodul ist daher ein Maß für den Widerstand, den ein Fluid einer Dichteänderung (respektive einer Änderung des spezifischen Volumens) infolge einer allseitig wirkenden Druckänderung entgegensetzt. 2.3. KINEMATIK DER VERFORMUNGEN Die relativen Änderungen der Rohrlänge l und des durchströmten Querschnitts A können durch die axialen und tangentialen Dehnungen ausgedrückt werden. Für die Änderungsrate der Rohrlänge gilt folgende Beziehung, wobei ε z die Dehnung in Richtung der Rohrachse bezeichnet. 1dl dε z = l dt dt Die relative Änderung des durchströmten Querschnitts A kann durch die Änderung des Innenradius r i der Rohrleitung ausgedrückt werden. Die relative Radienänderung wiederum kann mit der Tangentialdehnung ε ϕ formuliert werden: (5) (6) O+P Fluidtechnik 4/2017 67

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