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O+P Fluidtechnik 4/2017

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O+P Fluidtechnik 4/2017

VERBINDUNGSELEMENTE

VERBINDUNGSELEMENTE FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG PEER REVIEWED dr dr ϕ d = = = = 2 (7) A dt r dt r dt dt dt 2 1dA 1 i 2 i 2d 2 i i ϕ Damit lässt sich die relative Volumenänderungsrate durch die axialen und tangentialen Dehngeschwindigkeiten ausdrücken: ε ϕ 1dA 1dl dεϕ dε z + = 2 + (8) A dt l dt dt dt Für den allgemeinen Fall eines viskoelastischen Materialverhaltens der Rohrwand wird häufig angenommen, dass die Dehnungen ε in einen der Beanspruchung instantan folgenden linear-elastischen Anteil ε' und einen verzögert („retardiert“) folgenden viskoelastischen Anteil ε'' zerlegt werden können [6]: ε = ε′ + ε ′′ Da der linear-elastische Anteil ε' der ursächlichen Druckbelastung instantan folgt, kann geschrieben werden: dε′ dε′ dp = dt dp dt Für die gesamte Dehngeschwindigkeit ergibt sich damit: d ε d ε ′ dp d ε ′ = + dt dp dt dt (9) (10) (11) Die Ermittlung der Änderungsrate des viskoelastischen Dehnungsanteils fällt in das Gebiet der Rheologie. Eine ausführliche Beschreibung der rechnerischen Behandlung von Leitungen aus viskoelastischen Werkstoffen findet sich beispielsweise bei Corvas et al. [6]. Die mit viskoelastischem Materialverhalten verbundenen Implikationen für die effektive Schallgeschwindigkeit und das Übertragungsverhalten einer Leitung werden in einem Teil II dieser Arbeit behandelt. Für die folgenden Abschnitte wird linear-elastisches Materialverhalten vorausgesetzt, sodass dε'' für alle Zeiten gleich Null ist. 2.4. MODIFIZIERTE KONTINUITÄTSGLEICHUNG Durch Substitution der im vorigen Abschnitt hergeleiteten Beziehungen ergibt sich die modifizierte Kontinuitätsgleichung für Leitungen aus linear-elastischen Werkstoffen: ' ' ⎛ 1 dεϕ dε ⎞ z dp 1 ∂Q + 2 + + = 0 (12) ⎜ Ks dp dp ⎟ ⎝ ⎠ dt A ∂z Damit weist die Kontinuitätsgleichung insgesamt drei Terme auf, die der zeitlichen Druckänderung dp/dt proportional sind. Da die verschiedenen Koeffizienten sämtlich die Dimension des Kehrwerts eines Kompressionsmoduls haben, werden diese zum effektiven Kompressionsmodul für linear-elastische Leitungswerkstoffe K' zusammengefasst: Ks K′ = (13) Ks 1+ E ψ Die Volumenänderungsfunktion ψ nach Halliwell repräsentiert dabei die Änderung des vom Rohr umschlossenen Volumens infolge eines Einheitsdrucks [2]: ' ' ⎛ dεϕ dε ⎞ z ψ = E 2 + (14) ⎜ dp dp ⎟ ⎝ ⎠ Die effektive Schallgeschwindigkeit für linear-elastische Leitungswerkstoffe a' ergibt sich damit zu: K′ a′ = = ρ a s Ks 1+ ψ E (15) Da die vorliegende Arbeit auf dieses Werkstoffverhalten beschränkt ist, wird im Folgenden auf eine Unterscheidung zwischen der effektiven Schallgeschwindigkeit a (die auch ein mögliches viskoelastisches Werkstoffverhalten beinhaltet) und der effektiven Schallgeschwindigkeit bei linear-elastischem Leitungswerkstoff a' verzichtet. Die Bestimmung der effektiven Schallgeschwindigkeit reduziert sich bei bekannten Materialparametern (E, K s , a s ) also auf die Ermittlung der Volumenänderungsfunktion ψ für die jeweils vorliegenden Randbedingungen. Diese Aufgabe fällt in das Gebiet der Elastomechanik. 3. ELASTOMECHANIK DER ROHRWAND Die elastischen Tangential- und Axialdehnungen sind durch das Hookesche Gesetz mit den Spannungen σ, denen die Rohrwand ausgesetzt ist, und dem Elastizitätsmodul E der Wand verknüpft. Für die druckbezogene, linear-elastische tangentiale Einheitsdehnung dε' ϕ /dp ergibt sich damit: ε σ σ σz ⎞ = ⎜ −µ − µ ⎟ dp E⎝ dp dp dp ⎠ ' d ϕ 1 ⎛d ϕ d r d Für die axiale Einheitsdehnung dε' z /dp erhält man analog dazu: ' dε 1 d d z ⎛ σ σ z dσ ϕ r ⎞ = ⎜ −µ − µ ⎟ dp E⎝ dp dp dp ⎠ (16) (17) Zur Ermittlung der druckbezogenen Dehnungen (und damit der Volumenänderungsfunktion ψ) muss daher die (Einheits-)Spannungsverteilung innerhalb der Rohrwand bekannt sein. Diese wird im folgenden Abschnitt angegeben. 3.1. SPANNUNGSVERTEILUNG IN EINEM DURCH INNENDRUCK BELASTETEN ROHR An einem durch einen inneren Überdruck ∆p = p – p u (Umgebungsdruck p u ) belasteten Rohr mit kreisförmigem Querschnitt können axiale, radiale und tangentiale Spannungen auftreten (Bild 01): Die radialen und tangentialen Spannungen variieren über der Wandstärke r a – r i = e; die axiale Spannung σ z kann bei Vernachlässi- 01 Spannungen in einer durch Innendruck belasteten Rohrwand 68 O+P Fluidtechnik 4/2017

VERBINDUNGSELEMENTE gung von Randeffekten als über der Wandstärke konstant angesetzt Viele Autoren vernachlässigen den Beitrag der radialen Spannung werden (Prinzip von de Saint-Venant [7]). zur tangentialen Dehnung. Diese Vereinfachung ist nicht grundsätzlich zulässig, sondern hängt wesentlich von der relativen Wand- Die radiale Verteilung der Tangentialspannung σ ϕ ist durch folgenden Ausdruck gegeben, wobei die Radialkoordinate r vom stärke der Rohrwand e/d ab. Das Verhältnis von Tangential- und Innenradius r i bis zum Außenradius r a der Rohrwand läuft [8]: Radialspannungen – gemäß der exakten Spannungsverteilung – ist in Tabelle 01 dargestellt: 2 2 ϲ ⎡ ⎛r σ p 1 a ⎞ ⎤ ϕ =∆ + (18) 2 ⎢ ⎥ 1− ϲ ⎜ r ⎟ ⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎦⎥ e/d 0,1 0,05 0,01 0,001 In der oben stehenden Gleichung bezeichnet ϱ das dimensionslose |σ ϕ /σ r | 5,5 10,5 50,5 500,5 Radienverhältnis: Tabelle 01 Verhältnis von Tangential- und Radialspannungen ri ri ϲ = = (19) ra ri + e Offenkundig sind für dünnwandige Rohre im Sinn der DIN 2413 die Radialspannungen gegenüber den Tangentialspannungen vernachlässigbar klein, weswegen die Vereinfachung zumindest für Für die Verteilung der radialen Spannung gilt: sehr dünnwandige Rohre gerechtfertigt erscheint. 2 2 ϲ ⎡ ⎛r ⎤ a ⎞ Die im Folgenden hergeleiteten Volumenänderungsfunktionen σ r =∆p 1 − (20) 2 ⎢ ⎥ 1− ϲ ⎜ r ⎟ ⎢⎣ ⎝ ⎠ werden sowohl für die exakte Spannungsverteilung (ψ) als auch für ⎥⎦ die „dünnwandige Näherung“ (ψ 0 ) angegeben. Da die Näherungen Die axiale Spannung σ z hängt von den Lagerungsbedingungen des an die Volumenänderungsfunktion auf anderen Annahmen bezüglich der Spannungsverteilung in der Rohrwand beruhen und meist Rohres ab, weswegen an dieser Stelle keine allgemeingültige Angabe gemacht werden kann. Die jeweilige axiale Einheitsspannung nicht aus einer Grenzwertbetrachtung der exakten Volumenänderungsfunktion für ϱ → 1 gewonnen wurden, gilt im Allgemeinen: wird bei der Diskussion der verschiedenen Volumenänderungsfunktionen in Abschnitt 4 angegeben. Da die radialen und tangentialen Spannungen über der Wandstärke veränderlich sind, müssen die entsprechenden Dehnungen ε lim ψ ≠ψ0 (25) ϲ →1 auch Funktionen der Radialkoordinate r sein. Da allerdings nur die 4. VOLUMENÄNDERUNGSFUNKTIONEN Dehnungen an der Innenseite der Rohrwand (r = r i ) zur Änderung des vom Fluid ausgefüllten Volumens beitragen, sind nur die Spannungen an dieser Stelle für die vorliegende Problemstellung von Beon für sehr häufig vorkommende Lagerungsbedingungen angege- In den folgenden Abschnitten werden Volumenänderungsfunktideutung. Zusätzlich zum exakten Spannungszustand an der Rohrinnenseite werden die aus der Festigkeitslehre bekannten Näherungen lichkeit, die Volumenänderungsfunktion auch für Randbedinben. Die ausführliche Herleitung gibt dem Anwender die Mög- für dünnwandige Rohre (sogenannte Kesselformeln) angegeben. gungen zu ermitteln, die nicht in dieser Arbeit behandelt werden. Zunächst wird der Fall einer an axialer Ausdehnung behinderten 3.2 EXAKTE SPANNUNGEN AN DER Leitung behandelt. ROHRINNENSEITE 4.1. VOLUMENÄNDERUNGSFUNKTION FÜR An der mit dem Fluid in Kontakt stehenden inneren Seite der Rohrwand gilt für die tangentiale Einheitsspannung gemäß Gleichung 18: BEHINDERTE AXIALDEHNUNG Bei behinderter axialer Ausdehnung der Leitung ist die Änderung 2 dσ ϕ 1+ ϲ = (21) der elastischen Dehnung ε' z mit dem Druck p gleich Null. Allerdings 2 dp 1 r = r − ϲ i ist die axiale Spannung, die auch Einfluss auf die tangentiale Dehnung nimmt, infolge des Poisson-Effekts von Null verschieden. Die radiale Einheitsspannung beträgt an dieser Stelle nach Gleichung 20: Nach dem Hookeschen Gesetz ergibt sich für diese: σ z = µ ( σϕ + σr) (26) dσ r =−1 (22) dp r = r Die Volumenänderung ist im vorliegenden Fall nur auf den Beitrag i der Tangentialdehnung zurückzuführen. Die Volumenänderungsfunktion vereinfacht sich damit zu folgendem Ausdruck: 3.3 SPANNUNGEN IN EINEM DÜNNWANDIGEN ROHR ' dεϕ ⎡dσϕ 2 dσ r ⎤ ψ = 2E = 2 Neben der exakten Spannungsverteilung wird im Folgenden die in ( 1 ) ( 1 ) (27) d p ⎢ −µ − µ + µ d p d p ⎥ ⎣ ⎦ der Literatur häufig anzutreffende Näherung für dünnwandige Rohre angegeben. Nach DIN 2413 wird ein Rohr dann als dünnwandig bezeichnet, wenn das Verhältnis von Wandstärke e zu In- Spannungsverteilungen ist in Tabelle 02 dargestellt. Die Auswertung dieser Gleichung anhand der beiden vorgestellten nendurchmesser d den folgenden Grenzwert unterschreitet: e 0,1 (23) d ≤ Modell εz = 0, σz ≠0 Quelle Exakt 1+ µ ⎡ 2 ⎛1 ⎞⎤ [2] [9] 2 1 2 2 Bei einem dünnwandigen Rohr kann die Tangentialspannung als über 1 ⎢ + ϲ ⎜ −µ ⎟ − ϲ 2 ⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦ der Wandstärke konstant angenommen werden. Nach den „Kesselformeln“ ergibt sich damit für die tangentiale Einheitsspannung dσ ϕ Dünnwandig 2ϲ d [2] /dp: ( 1− µ 2 ) = ( 1− µ 2 ) 1− ϲ e dσ ϕ r = i dp e (24) Tabelle 02 Volumenänderungsfunktionen ψ für Rohre mit behinderter Axialdehnung O+P Fluidtechnik 4/2017 69

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