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O+P Fluidtechnik 5/2016

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SIMULATION FORSCHUNG UND

SIMULATION FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG PEER REVIEWED Zusammengefasst ergeben sich die folgenden Parameter für das Auftreten des Diesel-Effekts: 1. Existenz einer Blase, welche sich aufgrund von Kavitation vergrößern kann 2. Temperatur innerhalb der Blase überschreitet die Zündtemperatur 3. Zündverzugszeit 4. Luftverhältnis zwischen Sauerstoffmolekülen und Öldampf 5. Zündwilligkeit des Öls 3 GRUNDGLEICHUNGEN DER BLASENDYNAMIK Befindet sich eine mit Luft und Öldampf gefüllte Gasblase in einem hydraulischen Fluid, so verändert sich ihre Größe in Abhängigkeit des Umgebungsdrucks der Flüssigkeit p fl,∞ . Im Ausgangszustand ist der Druck in der Blase p B,0 gleich dem um die Oberflächenspannung der Blase vergrößerten Flüssigkeitsdruck und die Temperatur innerhalb der Blase ist unabhängig von der Position. Wird der Druck in der Flüssigkeit auf p fl,∞ +∆p vergrößert, so steigt der Druck in der Blase aufgrund der Blasendynamik auf einen vom Flüssigkeitsdruck deutlich abweichenden Wert p B,t und der Durchmesser der Blase nimmt aufgrund der steigenden Dichte des Gases ab. Die sich einstellende Temperatur ist abhängig von der Geschwindigkeit der Druckänderung. Es kann zwischen den idealisierten Zustandsänderungen isotherm und adiabat unterschieden werden, siehe Bild 03-1. Bei der isothermen Änderung erfolgt die Druckänderung langsam, sodass die durch die Kompression entstehende Wärme an die Flüssigkeit abgegeben werden kann. Hierdurch bleibt die Temperatur in der Blase konstant. Die adiabate Änderung zeichnet sich durch einen Anstieg der Temperatur der Blase aus, da aufgrund einer schnellen Druckänderung die entstehende Wärme in der zur Verfügung stehenden Zeit nicht an die Flüssigkeit abgegeben werden kann. 03-1 Schematische Darstellung relevanter Zustandsänderungen einer Gasblase Im Gegensatz zu den idealisierten Zustandsänderungen, ist eine reale Änderung immer eine Mischform dieser. Es bildet sich ein Temperaturprofil über dem Radius der Blase aus. Im Randbereich nahe der Blasenwand kann die Wärme in die Flüssigkeit übertragen werden und die Temperatur sinkt. Das so entstehende Temperaturprofil ist rechts in Bild 03-1 gezeigt. Berechnet werden kann die entstandene mittlere Temperatur mit dem idealen Gasgesetz Gl. 3-1, mit dem Polytropenexponent o zur Berücksichtigung der Art der Zustandsänderung [Mur06]. Für eine isotherme Zustandsänderung ist der Polytropenexponent gleich 1, für die adiabate Änderung ist er gleich dem Isentropenexponent k, der für Luft 1,4 beträgt. Somit ist die Temperatur beschreibbar durch die Anfangsbedingungen, den Polytropenexponent und den nicht bekannten Druck in der Blase, der wiederum von der Art der Zustandsänderung und der Blasendynamik abhängig ist. 3.1 BESCHREIBUNG DER BLASEN- THERMO DYNAMIK UND BLASENDYNAMIK Zur Ermittlung der Art der Zustandsänderung und der Berechnung des Temperaturprofils in der Blase in Abhängigkeit der Druckänderung und der Kompressionszeit, muss die Thermodynamik und die Dynamik der Blase betrachtet werden. Insbesondere die Wärmeabfuhr und der Phasenwechsel von verdampfendem Öl an der Phasengrenze müssen hierfür berücksichtigt werden. Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass Radialsymmetrie in der Blase und ihrer flüssigen Umgebung gilt. Somit hängt das gesamte System von den zwei Variablen dem Radius r und der Zeit t ab und die Zustandsgrößen Temperatur und Druck lassen sich durch diese beiden Variablen beschreiben. Des Weiteren wird angenommen, dass sowohl die Dichte der flüssigen Phase, als auch die Wärmekapazität und die Wärmeleitfähigkeit beider Phasen konstant sind. Der Druck in der Blase ist ortsunabhängig, was solange die Blase vergleichsweise groß ist, Gültigkeit besitzt. Der Zusammenfall der Blase kann jedoch mit dieser Vereinfachung nicht betrachtet werden. Das Gas in der Blase wird als ideal angenommen und durch die Radialsymmetrie der Blase ist der Wärmestrom im Blasenzentrum Null. Die Navier-Stokeschen Gleichungen, das heißt die Kontinuitätsgleichung, die Impulserhaltungsgleichung und die Energieerhaltungsgleichung [Bey85] können für jede Phase unabhängig voneinander formuliert werden. Gekoppelt werden die Gleichungen an den Phasengrenzen durch die Randbedingungen. Die Kontinuitätsgleichung für die Gasphase ist in Gl. 3-2 mit der orts- und zeitabhängigen Dichte des Gases und der Geschwindigkeit dargestellt. Die Geschwindigkeit in der Gasblase folgt aus den Massen- und Energieerhaltungsgleichungen mit oben genannten Vereinfachungen und ist ebenfalls abhängig von Ort und Zeit. Weitere, die Geschwindigkeit beeinflussende Faktoren sind die zeitabhängigen Druckänderungen und die ortsabhängige Temperaturänderung. Die Wärmeleitung innerhalb der Blase wird mit dem Wärmeleitkoeffizienten λ gemäß dem Fourierschen Gesetz [Kne13] beschrieben. Für eine genauere, aber aufwändigere Formulierung der Blasendynamik, siehe [San08]. Das Temperaturprofil innerhalb der Blase lässt sich ebenfalls aus den Impuls- und Energieerhaltungsgleichungen ableiten, siehe Gl. 3-4. Hier fällt auf, dass die Druckänderung in der Blase als Quellterm in der Energietransportgleichung auftritt. Das bedeutet, dass durch die externe Druckerhöhung der Blase Energie zugeführt wird. ⎛ ⎛ ∂p κr ⎞ ⎞ p 2κ 1 ⎜ − + T 1 3 T ⎟ ⎛ − ⎞ ∂ ⎜ ⎟ ∂t ∂ 1 ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞ ∂p r λ 2 T ⎜ ⎟ ⎜ + ⎜ ⎟ ⎟= κ 1 t p( 2κ 1) T r r r ⎜ ⎟+ ⎝ − ⎠⎜ ∂ − ∂ ∂ ⎟ ∂ ∂r ∂t ( κ 1) λ ⎝ ⎠ ⎜ ⎜ − ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ ∂r ⎠ ⎠ Gl.3-4 3.2 BETRACHTUNG DER FLÜSSIGKEIT Im Gegensatz zu der Dichte des Gases, die in Abhängigkeit des Orts und der Zeit modelliert werden muss, kann die Flüssigkeit als inkompressibel angesehen werden. Daher ergibt sich aus der Kontinuitätsgleichung die Geschwindigkeit der flüssigen Phase in der Blasenumgebung als Funktion des zeitabhängigen Blasenradius R(t) und der Geschwindigkeit an der Blasenwand w fl . Gl 70 O+P – Ölhydraulik und Pneumatik 5/2016

SIMULATION Der Druckverlauf in der Flüssigkeit in der Blasenumgebung kann durch die Impulserhaltungsgleichung ermittelt werden. Aus der Energieerhaltungsgleichung ergibt sich unter der Vernachlässigung des viskositätsabhängigen Energieterms der Temperaturverlauf in der Blasenumgebung, Gl. 3-7. 3.3 EINBINDUNG DES STOFFAUSTAUSCHES ZWISCHEN BLASE UND FLÜSSIGKEIT In Abhängigkeit des partiellen Drucks des Dampfs einer Flüssigkeit in der darüber liegenden Gasphase, verdampft ein Teil der Flüssigkeit oder kondensiert der Dampf. Ein Stoffaustausch findet so lange statt, bis der partielle Dampfdruck in der Gasphase dem Sättigungsdampfdruck entspricht und sich ein Gleichgewichtszustand einstellt. Der Sättigungsdampfdruck eines Stoffes lässt sich mit Hilfe der Antoine-Gleichung [Kne13] berechnen oder experimentell bestimmen. In diesem Zusammenhang ist es nützlich die relative Feuchte ϕ einzuführen, die den partiellen Dampfdruck p d mit dem Sättigungsdampfdruck p sat ins Verhältnis setzt, Gl. 3-8. Ist die relative Feuchte größer als eins, so findet Kondensation statt, ist sie kleiner als eins verdampft Öl. Im Gleichgewichtszustand gilt ϕ=1. Die Berücksichtigung des Phasenübergangs in der Blasendynamik hat drei Folgen. Zum einen ändert sich die Geschwindigkeit an der Wand der Blase und an der Phasengrenze kommt bei der Energiebilanz der Term der Verdampfungs- bzw. Kondensationsenthalpie hinzu. Des Weiteren muss die Temperaturgleichung innerhalb der Blase für ein Stoffgemisch betrachtet werden. Die Geschwindigkeit der Verdampfung bzw. der Kondensation kann mit der Hertz-Knudsen Gleichung /Pic98/ berechnet werden. Im Folgenden wird von quasistationären Zuständen ausgegangen und die Zeitabhängigkeit des Phasenwechsels aufgrund der geringen Dimensionen vernachlässigt. 3.4 RANDBEDINGUNGEN UND KOPPLUNG DER GLEICHUNGEN Gekoppelt werden die oben vorgestellten Gleichungen durch die Bedingungen am Blasenrand, der Massenbilanz, der Impulsbilanz und der Energiebilanz. Der in die Blase eintretende Massenstrom aufgrund von Verdampfung ist gleich dem austretenden Massenstrom der Flüssigkeit. Findet Kondensation statt, ist der aus der Blase austretende Massenstrom gleich dem Zugewinn an Masse in der Flüssigkeit. Wird die Impulsbilanz an der Blasenoberfläche aufgestellt, so ergibt sich die Rayleigh-Plesset-Gleichung [Sto00], Gl. 3-9, unter Vernachlässigung der Viskosität der Flüssigkeit. Sie beschreibt die Geschwindigkeit und Beschleunigung der Blasenwand in Abhängigkeit des Flüssigkeitsdrucks und der Oberflächenspannung. Während der Kompression und dem damit verbundenen Temperaturanstieg innerhalb der Blase fließt ein flächenspezifischer Wärmestrom aus der Blase in die Flüssigkeit hinein und wird innerhalb der Flüssigkeit als Wärmestrom von der Wand abgeführt. Diese Wärmeströme lassen sich mit Hilfe des Fourierschen Gesetzes als Funktion der Wärmeleitfähigkeit des Gases und der Flüssigkeit beschreiben. An der Oberfläche der Blase tritt entweder Verdampfung oder Kondensation auf, sodass die Verdampfungsenthalpie bzw. die Kondensationsenthalpie Δ hVer/Kond berücksichtigt werden muss. Mit der Clausius-Clapeyron-Gleichung kann die Verdampfungsenthalpie zwischen zwei Wertepaaren, bestehend aus Sättigungsdampfdruck und der dazugehörigen Temperatur, berechnet werden [Bre96]. Zur Berechnung der Temperaturverteilung innerhalb der Blase, ausgehend von einer Druckerhöhung in der Flüssigkeit, müssen die zuvor aufgestellten partiellen Differentialgleichungen nach der Zeit und dem Ort gelöst werden. Eine Schwierigkeit hierbei ist, dass der Druck in der Gasblase nicht dem Flüssigkeitsdruck entspricht, sondern sich aufgrund der Blasendynamik in Abhängigkeit von der Druckänderungsgeschwindigkeit in der Flüssigkeit träger verhält. Die Änderungsrate ist abhängig von dem unbekannten Polytropenexponent der Zustandsänderung. 4 IMPLEMENTIERUNG DER GLEICHUNGEN IN MATLAB UND AUFBAU DER SIMULATION Durch die Abhängigkeit des Blasendrucks und der Blasentemperatur von der unbekannten Art der Zustandsänderung ist eine analytische Lösung der Gleichungen nicht möglich und ein iteratives Vorgehen zur Lösung der partiellen Differentialgleichungen muss gewählt werden. Zur Implementierung der Gleichungen in Matlab müssen diese zunächst nach der Zeit und dem Ort diskretisiert werden. Dies geschieht mit Hilfe des impliziten Verfahrens. Der Anfangsblasenradius R 0 wird in ein Gitter mit r Abschnitten aufgeteilt, wobei die Länge jedes Abschnitts Δr beträgt und sich somit r+1 Gitterpunkte ergeben, siehe Bild 04-1 links. Die betrachtete Zeitspanne wird in h Abschnitte unterteilt, die jeweils eine individuelle Dauer von Δt n haben. An einem Gitterpunkt i hat die Blase zu einem Zeitpunkt n einen Temperaturwert T in . Im nächsten Zeitschritt hat die Temperatur an dem gleichen Punkt i den Wert T i n+1 , siehe Bild 04-1. Mit den zuvor hergeleiteten Beziehungen kann Gl. 3-9 in Gl. 3-10 umgeschrieben werden, mit der gemittelten Blasentemperatur und der Wandtemperatur T W . 04-1 Zeitschrittabhängige Diskretisierung der Radiuskoordinate O+P – Ölhydraulik und Pneumatik 5/2016 71

Ausgabe

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O+P Fluidtechnik 11-12/2018
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O+P Fluidtechnik 9/2018
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O+P Fluidtechnik 6/2018
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