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O+P Fluidtechnik 5/2019

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VERBINDUNGSELEMENTE

VERBINDUNGSELEMENTE FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG PEER REVIEWED Wählt man die Spannungen und Dehnungen im lastfreien Zustand als Bezugsgrößen und geht von linearem Werkstoffverhalten aus, so vereinfacht sich der differentielle Ausdruck zu folgender Beziehung: Lässt man die Forderung nach quasistatischer Belastung fallen und verallgemeinert das Konzept auf oszillierende Beanspruchungen σ* und Dehnungen ε*, die durch komplexe Zeiger (Kreisfrequenz ω, Phasenwinkel δ) repräsentiert werden, so ergibt sich das Verhältnis dieser beiden Größen zum komplexen Elastizitätsmodul E*: Für den Realteil des komplexen Elastizitätsmoduls ist die Bezeichnung Speichermodul gebräuchlich; für den Imaginärteil hat sich der Begriff des Verlustmoduls durchgesetzt: Für den Grenzfall des rein elastischen Materialverhaltens ( , siehe Teil I) ergibt sich der Phasenwinkel zu δ = 0°, wohingegen bei rein viskosem Verhalten ( ) die Verformung der Belastung um δ = 90° nacheilt. Da das Verhalten eines viskoelastischen Werkstoffs zwischen diesen beiden Grenzfällen liegt, gilt für den Phasenwinkel stets 0° ≤ δ ≤ 90°. Der Realteil des komplexen Elastizitätsmoduls entspricht also der tatsächlichen Steifigkeit des Materials, wohingegen der Imaginärteil als Maß für die innere Dämpfung des Werkstoffs herangezogen werden kann. Die Überlagerung beider Anteile ergibt die im Experiment beobachtete scheinbare Steifigkeit. Zur Ermittlung der Frequenzgänge und und ihrer im Allgemeinen ausgeprägten Temperaturabhängigkeit ist man derzeit auf spezielle Werkstoffversuche (sog. dynamisch-mechanische Analysen, DMA) angewiesen, da bisher keine zufriedenstellende theoretische Ableitung dieser Eigenschaften aus der chemischen Struktur der Werkstoffe heraus möglich ist. Um die in der DMA gemessenen Verläufe des komplexen Elastizitätsmoduls in der Zeit-bereichssimulation anwenden zu können, sind Materialmodelle nötig. Ziel der Materialmodelle ist es, die in der DMA beobachtete Frequenzabhängigkeit des Werkstoffverhaltens formelmäßig im Zeitbereich zu beschreiben. Häufig werden dazu Kombinationen aus Feder-, Dämpfer- und ggf. Reibelementen miteinander verschaltet, wobei sich für die Gesamtanordnung aus solchen Elementen der Begriff des Körpers etabliert hat. Zu den wichtigsten Körpern zählen [3]: n Kelvin-Voigt-Körper (Parallelschaltung von Federelement und Dämpferelement) n Maxwell-Körper (Reihenschaltung von Federelement und Dämpferelement) n Zener-Körper (Maxwell-Typ oder Kelvin-Voigt-Typ, Erläuterung siehe unten) Die weiteren Ausführungen werden am Beispiel des Zener-Körpers vom Kelvin-Voigt-Typ durchgeführt. 2.3 BEISPIEL: ZENER-KÖRPER VOM KELVIN-VOIGT-TYP Ein Zener-Körper vom Kelvin-Voigt-Typ setzt sich aus einer linear-elastischen Feder E 0 und einem dazu in Reihe geschalteten Kelvin-Voigt-Körper zusammen. Der Kelvin-Voigt-Körper wiederum besteht aus einer linearen Feder E k , die parallel zu einem viskosen Dämpferelement η k geschaltet ist. Das Ersatzschaltbild der Gesamtanordnung ist in Bild 04 dargestellt. Für die lineare Feder gilt das einachsige Hookesche Gesetz: Die Beschreibung des Werkstoffgesetzes für den Kelvin-Voigt- Körper erfordert eine Differentialgleichung, da die Dämpferspannung von der Dehngeschwindigkeit abhängt: Im Folgenden wird aus diesen beiden Gleichungen der effektive Elastizitätsmodul des Zener-Körpers ermittelt. Dazu wird die Materialgleichung 8 zunächst in den Laplace-Bereich transformiert. Durch die Laplace-Transformation gehen zeitliche Ableitungen ∂/∂t im Originalbereich in Multiplikationen mit der Laplace-Variablen s im Bildbereich über. Für die Laplace-Transformierte der Dehngeschwindigkeit des Kelvin-Voigt-Körpers gilt damit: Die Laplace-Transformierte des Materialgesetzes des Kelvin- Voigt-Körpers nimmt dann die folgende Gestalt an: Da der Beitrag des Dämpferelements durch die Transformation in einen algebraischen Ausdruck übergeht, kann ein komplexer Ersatz-Elastizitätsmodul des Kelvin-Voigt-Körpers definiert werden: Transformiert man das Materialgesetz der linearen Feder (Gl. 7) in gleicher Weise, so ergibt sich der komplexe Elastizitätsmodul E* des gesamten Zener-Körpers als Reihenschaltung der Steifigkeiten und E 0 : Zur Analyse des Frequenzgangs des komplexen Elastizitätsmoduls wird die Laplace-Variable zu s = iω gesetzt. Dabei entspricht ω = 2πf der Kreisfrequenz der Erregung. Für den Grenzfall einer quasistatischen Beanspruchung (ω → 0) degeneriert der Zener-Körper zu einer Reihenschaltung der beiden Federn E 0 und E k , da bei verschwindender Kreisfrequenz das Dämpferelement η k keine Kraft ausübt. Dieser Grenzwert entspricht dem Elastizitätsmodul E des Werkstoffs, der bei einem quasistatischen Zugversuch zu beobachten wäre: Für den anderen Grenzfall einer unendlichen Frequenz steigt die (komplexe) Steifigkeit des Dämpferelements η k kontinuierlich an, sodass sich das Kelvin-Voigt-Element wie ein unendlich steifer Körper verhält. Damit verbleibt nur die Steifigkeit der linearen Einzel feder E 0 : Für endliche Frequenzen 0 < ω < ∞ geht der komplexe Elastizitätsmodul nach Art einer Sigmoidfunktion (S-Funktion) von dem unteren Grenzwert E auf den oberen Limes E 0 über. Mit Modellen des Zener-Körpers vom Kelvin-Voigt-Typ kann nur genau dieser Ver-lauf des komplexen Elastizitätsmoduls über der Frequenz abgebildet werden; bei gegebenen Grenzwerten E und E 0 lässt sich durch Variation von η k lediglich die Lage der Wendestelle verschieben. Wird im Experiment ein gänzlich anderer Frequenzgang des 38 O+P Fluidtechnik 5/2019

VERBINDUNGSELEMENTE komplexen Elastizitätsmoduls beobachtet, so kann dieser Verlauf bspw. durch Hinzufügen weiterer Kelvin-Voigt-Körper (sog. generalisierter Kelvin-Körper) oder Auswahl eines anderen Körpers nachgestellt werden. Das Modell des Zener-Körpers vom Kelvin-Voigt-Typ wird bei der FLUIDON GmbH eingesetzt, um das messtechnisch ermittelte Übertragungsverhalten von Leitungen mit viskoelastischen Materialeigenschaften in der Zeitbereichssimulation mit DSHplus nachzustellen. Die auf diesem Wege ermittelten Amplitudenfrequenzgänge der komplexen Elastizitätsmoduln von beispielhaft ausgewählten Leitungswerkstoffen sind in Bild 05 dargestellt. Wie dem Graphen entnommen werden kann, besteht bei der untersuchten Leitung aus Fluorkautschuk (FKM) eine verhältnismäßig schwach ausgeprägte Frequenzabhängigkeit des komplexen Elastizitätsmoduls. Bei diesem Werkstoff spielen viskoelastische Effekte im untersuchten Frequenzbereich offensichtlich eine untergeordnete Rolle. Ein gänzlich anderes Verhalten zeigt sich dagegen bei der Leitung aus Polyamid (PA): Zwischen der niedrigsten und der höchsten untersuchten Frequenz vergrößert sich die effektive Steifigkeit des Prüflings bei Raumtemperatur um mehr als 60 %; bei der auf 50 °C temperierten Leitung kann ein dynamischer Steifigkeitszuwachs von mehr als 110 % beobachtet werden. Mit Kenntnis des Verlaufs des komplexen Elastizitätsmoduls können die zur Ermittlung der effektiven Schallgeschwindigkeit benötigten Dehngeschwindigkeiten berechnet werden. 2.4 DEHNGESCHWINDIGKEITEN Im Laplace-Bereich kann mithilfe des gefundenen komplexen Elastizitätsmoduls und der Laplace-Transformierten ψ* der im ersten Teil hergeleiteten Volumenänderungsfunktion ψ folgender Zusammenhang zwischen den Dehngeschwindigkeiten und dem komplexen Relativdruck p* hergeleitet werden: 04 05 Ersatzschaltbild des Zener-Körpers vom Kelvin-Voigt-Typ Amplitudenfrequenzgänge der komplexen Elastizitätsmoduln verschiedener Werkstoffe Die Volumenänderungsfunktion hängt neben dem Wandstärken-Durchmesser-Verhältnis auch von der komplexen Querkontraktionszahl µ* ab. In Ermangelung gesicherter Erkenntnisse über den Frequenzgang der komplexen Querkontraktionszahl für die meisten fluidtechnisch relevanten Werkstoffe [4] wird im Folgenden davon ausgegangen, dass diese sowohl frequenzinvariant als auch reell ist und daher ihr quasistatischer Wert angesetzt werden kann (µ* ≈ µ) [2]. Damit ergibt sich eine über der Frequenz konstante Volumenänderungsfunktion. Setzt man einen komplexen Elastizitätsmodul gemäß Gl. 10 an (wobei die im Folgenden ausgeführte Herleitung auch auf Werkstoffe mit einem anderen Ersatzmodell angewendet werden kann), so gilt für die Laplace-Transformierten der Dehnungsgeschwindigkeiten: Körpers mit τ k (sog. Relaxationszeit), so ergibt sich die zeitliche Änderungsrate der Gesamtdehnung im Zeitbereich zu: 2.5 ERWEITERTE KONTINUITÄTSGLEICHUNG (19) Der gefundene Ausdruck für die Dehngeschwindigkeiten wird in Anteile aufgeteilt, die der Belastung entweder instantan oder verzögert folgen. Der instantan folgende Anteil entspricht der rein elastischen Dehnungsgeschwindigkeit; der verzögerte Anteil repräsentiert die viskoelastische Dehnungsgeschwindigkeit (diese ist für linear-elastische Werkstoffe wie z. B. Stahl gleich Null): Die komplexen Dehngeschwindigkeiten setzen sich also additiv aus zwei Anteilen zusammen, die jeweils getrennt rücktransformiert werden können. Die Rücktransformation des ersten Terms in den Zeitbereich ist elementar: Damit ergibt sich die erweiterte Kontinuitätsgleichung zu: Da der zweite Term ein Produkt aus den zwei Funktionen sp* und (E k + sη k ) −1 darstellt, muss zur Rücktransformation in den Zeitbereich der Faltungssatz der Laplacetransformation angewendet werden. Bezeichnet man das Verhältnis η k /E k des Kelvin-Voigt- Der hinzugekommene mittlere Term, der den viskoelastischen Anteil des Materialverhaltens abbildet, erschwert die Identifikation der effektiven Schallgeschwindigkeit nach der im ersten Teil dieser Arbeit beschriebenen Methode. Allerdings kann die Gl. 19 im Laplace-Bereich in eine Form gebracht werden, bei der auch der mitt- O+P Fluidtechnik 5/2019 39

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