O+P Fluidtechnik 1-2/2016

ANTRIEBE FORSCHUNG UND

ANTRIEBE FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG PEER REVIEWED bestimmen. Anhand der Messungen am IFAS [Scu14] und dem Ergebnis aus Gleichung (11) ergibt sich die Verschleißfunktion zu Äquivalent kann die Verschleißfunktion F eineindeutig durch die Änderung einer Funktionsgröße a nach Gleichung (1) erfasst werden. Als Funktionsgröße wird hier die Druckverstärkung V pu nach Schumacher [Scu14] gewählt (13) Mit V pu,end = 0 ergibt sich aus Gleichung (12) und (13), analog zu den Erkenntnissen von Schumacher [Scu14], die relative Druckverstärkung des verschlissenen Ventils v (14) Mit der Definition der Druckverstärkung ergibt sich der Materialabtrag zu MATHEMATISCHES PROGRAMM (16) Die TOR-Methodik erlaubt es, automatisiert die optimale Struktur für ein hydrostatisches Getriebe zu finden. Hierzu werden Funktion, Ziel und Spielfeld aus den Schritten 1-3 der TOR Pyramide in einem Optimierungsmodell abgebildet. Als mathematische Modellierungssprache dient ein gemischt-ganzzahliges nichtlineares Programm (MINLP). Die Menge aller zulässigen Systeme wird dabei sowohl durch kontinuierliche Entscheidungsvariablen (Parameter, physikalische Größen) als auch durch diskrete Entscheidungsvariablen (Kauf-, Schaltentscheidungen) kodiert. Die Beschreibung der kombinatorischen Zusammenhänge und der physikalisch-technischen Nebenbedingungen erfolgt in Form von algebraischen Gleichungen und Ungleichungen. Das Spielfeld ist ein Netzwerk mit optionalen Komponenten. Abstrakt kann es durch einen Graphen G = (V,E) (17) mit Knotenmenge V und Kantenmenge E beschrieben werden. V repräsentiert dabei die Menge der Anschlüsse aller Komponenten. Die Kanten E sind eine Teilmenge von V × V, d. h. sie verbinden zwei Anschlüsse miteinander. Sie repräsentieren Komponenten wie Ventile oder Rohre. „Innere Kanten“ verbinden die Anschlüsse desselben Ventils und tragen dessen physikalisch-technische Modellierung. „Äußere Kanten“ identifizieren Anschlüsse miteinander, d. h. sie wirken als ideale verlustfreie Rohre. Den Knoten und Kanten des Graphen werden physikalische Größen zugeordnet. Durch die Kanten fließt ein quasistationärer Volumenstrom Q. Auf inneren Kanten müssen zudem technische Informationen hinterlegt werden. Beispielsweise dient eine Binärvariable als Indikator für den Öffnungszustand eines Schaltventils, während eine kontinuierliche Variable den Hub eines Regelventils beschreibt. Knoten können als Messpunkte im System interpretiert werden und tragen Potentialgrößen wie den Druck p. Auch die physikalischen Gleichungen lassen sich auf dem Graphen abbilden. An jedem Knoten gilt die Kontinuitätsgleichung, der Volumenstrom ist erhalten: Die Summe der Volumenströme Q i,n , die über eine Kante (i,n) in einen Knoten n hineinfließen, muss gleich der Summe der Volumenströme Q n,j sein, die aus dem Knoten n hinausfließen. Die Summen indizes In(n) und Out(n) bezeichnen dabei die Menge der Vorgängerknoten, bzw. die Menge der Nachfolgerknoten von n. Auch die Druckfortpflanzung wird im Modell abgebildet. Der Druck wird entlang einer Verbindung (i,j) propagiert p j – p i = Δp.(19) Auf inneren Kanten ergibt Δp sich aus der Komponentencharakteristik und auf äußeren Kanten gilt Δp = 0. In einem nächsten Schritt werden Topologie-Freiheitsgrade eingeführt. Allen Kanten wird eine binäre Entscheidungsvariable x zugeordnet. Bei inneren Kanten ist sie ein Indikator für den Kauf einer Komponente (0: kein Kauf, 1: Kauf), bei äußeren Kanten zeigt sie eine Verbindung von Komponenten an (0: Verbindung nicht vorhanden, 1: Verbindung vorhanden). Die Topologie-Freiheitsgrade spiegeln sich auch in den Nebenbedingungen wider. Der Volumenstrom durch eine nichtexistente Komponente oder Verbindung (i,j) muss verschwinden: Entlang einer inneren Kante wird der Druck erhöht, entlang einer äußeren Kante pflanzt er sich unverändert fort. Beides trifft allerdings nur zu, wenn die Verbindung tatsächlich aufgebaut wird. Andernfalls sind die beiden Drücke unabhängig voneinander: Diese logischen Implikationen müssen in der Modellformulierung auf die Form von algebraischen Gleichungen oder Ungleichungen gebracht werden. Es ist möglich, mit linearen Termen auszukommen, sofern alle Variablen beschränkt sind. Dies führt zu sogenannten Big-M Bedingungen, wobei M für eine hinreichend große Zahl 118 O+P – Ölhydraulik und Pneumatik 1-2/2016

ANTRIEBE steht, die sich aus den Variablenschranken ableiten lässt. Für den Volumenstrom ergibt sich lediglich eine optionale obere Schranke, während die Druckfortpflanzungsgleichung in zwei abschaltbare Ungleichungen zerfällt: Q i,j ≤ M Q ⋅ x i,j , (22) p j – p i – Δp ≤ M p ⋅ x i,j ,(23) p j – p i – Δp ≥ –M p ⋅ x i,j .(24) Die nichtlinearen Nebenbedingungen in den Komponentenbeschreibungen, z. B. in den Ventilkennfeldern, werden durch stückweise Linearisierung in näherungsweise äquivalente gemischt-ganzzahlige lineare Formulierungen überführt. Dabei kann der resultierende Approximationsfehler im Übersetzungsschritt durch die Anzahl der Stützstellen kontrolliert werden. Durch die stückweise Linearisierung entsteht ein Mixed- Integer-Linear-Programm (MILP). MINIMALER VERSCHLEISS ALS ZIELFUNKTION IN DER ALGORITHMISCHEN STRUKTURSYNTHESE MIT TOR Weitere nichtlineare Gleichungen, welche durch stückweise Linearisierung in das MILP integriert werden, beschreiben den Verschleiß eines jeden Regelventils. Zur Illustration der algorithmischen Systemsynthese werden zwei unterschiedliche Zielstellungen betrachtet: (i) Es soll das System gefunden werden, das unter den gegebenen Randbedingungen die maximal mögliche ununterbrochene Betriebszeit ermöglicht. (ii) Es soll das System synthetisiert werden, das den minimalen Materialeinsatz verspricht. In der ersten Zielstellung wird der ununterbrochen mögliche Systembetrieb der Maschine durch die Zeitdauer bis zum ersten notwendigen Austausch eines der Ventile des Systems begrenzt. In der Zielfunktion des Modells wird daher das Maximum des Verschleißes aller Regelventile berechnet und minimiert: a) ENTSCHEIDUNGSBAUM FÜR UNTERSCHIEDLICHE STRUKTURLÖSUNGEN b) DISKRETER ITERATIONSPROZSS A A B C STRUKTUR- VARIANTE A,B,C KEINE LÖSUNGEN VERSCHLEISS B C X DUALE SCHRANKE RECHENZEIT 06 a) Schematische Darstellung des Lösungsbaums; b) Verlauf einer Optimierungstechnik O+P – Ölhydraulik und Pneumatik 1-2/2016 119