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O+P Fluidtechnik 5/2019

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VERBINDUNGSELEMENTE

VERBINDUNGSELEMENTE FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG PEER REVIEWED DIE SCHALLGESCHWINDIGKEIT VON FLUIDEN IN NACHGIEBIGEN LEITUNGEN – TEIL II: LEITUNGEN MIT VISKOELAS- TISCHEM MATERIALVERHALTEN Enrico Pasquini, Heiko Baum, Hubertus Murrenhoff, Katharina Schmitz Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit (O+P 04/2017) wurde gezeigt, wie die effektive Schallgeschwindigkeit in Leitungen mit linear-elastischem Materialverhalten berechnet werden kann. Im zweiten Teil werden die Betrachtungen auf Leitungen aus Werkstoffen mit viskoelastischem Materialverhalten erweitert. Die wichtigsten Besonderheiten des mechanischen Verhaltens von viskoelastischen Werkstoffen werden anhand praktischer Beispiele herausgearbeitet. Zusätzlich werden die gebräuchlichsten Methoden zur mathematischen Modellierung der mechanischen Eigenschaften von Werkstoffen mit einem solchen Verhalten vorgestellt. Es wird gezeigt, dass die effektive Schallgeschwindigkeit in Leitungen mit viskoelastischem Materialverhalten eine komplexe und frequenzveränderliche Größe darstellt, was bei der Systemauslegung gegebenenfalls berücksichtigt werden muss. 36 O+P Fluidtechnik 5/2019

VERBINDUNGSELEMENTE 1 EINLEITUNG Im ersten Teil dieser Arbeit wurde die durch Berücksichtigung der radialen und axialen Dehnung der Rohrwand erweiterte modifizierte Kontinuitätsgleichung hergeleitet [1]: (1) Dabei wurde vorausgesetzt, dass die Gesamtdehnungen ε in einen der Belastung instantan folgenden linear-elastischen Anteil und einen verzögert folgenden viskoelastischen Anteil aufgeteilt werden können [2]: 01 02 Sinusförmig krafterregter Kragarm Belastungs- und Verformungsverläufe bei linear-elastischem Werkstoffverhalten Die Ausführungen im ersten Teil beschränkten sich auf linear-elastisches Materialverhalten, weswegen die Beiträge der beiden viskoelastischen Anteile und in der Kontinuitätsgleichung bisher gleich Null angenommen wurden. Im vorliegenden zweiten Teil sollen die Betrachtungen auf Leitungswerkstoffe mit viskoelastischem Materialverhalten verallgemeinert werden, weswegen diese Anteile hier berücksichtigt werden müssen. 2 GRUNDLAGEN Gegenüber dem ersten Teil der Arbeit werden zwei zusätzliche vereinfachende Annahmen hinzugenommen: n Es liegt linear-viskoelastisches Materialverhalten vor, d. h. die Materialparameter hängen nicht von der Beanspruchungs- oder Verformungsamplitude ab. n Die Mach-Zahl der Rohrströmung ist wesentlich kleiner als Eins, sodass die konvektiven Ableitungen ohne Einführung großer Fehler vernachlässigt werden können (sog. akustische Approximation). Es gilt daher . 2.1 VISKOELASTISCHES MATERIALVERHALTEN 03 Belastungs- und Verformungsverläufe bei viskoelastischem Werkstoffverhalten Im Unterschied zu rein elastischen Werkstoffen hängt die Dehnung von viskoelastischen Materialien nicht nur von der Höhe, sondern auch vom zeitlichen Verlauf der Beanspruchung ab. Diese Besonderheit viskoelastischer Werkstoffe sei an einem einfachen Beispiel illustriert. Ein Kragbalken aus einem Werkstoff mit linear-elastischem Verhalten (z. B. Stahl oder Aluminium) werde durch eine am freien Balkenende mit der Kreisfrequenz ω periodisch einwirkende Querkraft F(t) mit der Amplitude F 0 belastet, siehe Bild 01. Die anregende Kreisfrequenz sei dabei wesentlich kleiner als die unterste Biegeeigenkreisfrequenz des Balkens, sodass Trägheitswirkungen vernachlässigt werden können. Die resultierende Durchbiegung w(t) des freien Balkenendes ist in diesem Fall – sieht man von der meist vernachlässigbaren inneren Reibung bei Werkstoffen mit diesem Verhalten ab – praktisch unabhängig von der Belastungsfrequenz und folgt der Anregung instantan, wie Bild 02a zeigt. Eine beispielhaft angenommene Verdopplung der Frequenz – wie in Bild 2b dargestellt – führt daher zu keiner Veränderung hinsichtlich Amplitude und Phasenlage der Durchbiegung; die Balkensteifigkeit ist frequenzinvariant. Ist der Balken dagegen aus einem viskoelastischen Werkstoff gefertigt, so hat die Frequenz, mit der die Belastung aufgebracht wird, einen entscheidenden Einfluss auf die Höhe der sich einstellenden Durchbiegung, wie aus dem Vergleich der Bilder 3a und 3b entnommen werden kann. Offensichtlich stellt sich bei höherer Frequenz eine geringere Durchbiegung ein, der Werkstoff wird in diesem Beispiel also mit zunehmender Frequenz steifer. Die horizontalen Abstände Δt der Kraft- und Wegmaxima (gestrichelt dargestellte Linien) offenbaren, dass sich außerdem von Null verschiedene Phasenwinkel zwischen Last und Verformung einstellen. Da die Phasenwinkel für unterschiedliche Anregungsfrequenzen verschieden ausfallen können, handelt es sich hierbei ebenfalls um eine im Allgemeinen frequenzabhängige Größe. Aus dem beobachteten Verhalten lassen sich folgende Aussagen über den Elastizitätsmodul viskoelastischer Werkstoffe ableiten: n Der Elastizitätsmodul von viskoelastischen Werkstoffen ist keine Konstante, sondern hängt – bei periodischer Erregung – vielmehr von der Frequenz der Belastung ab. n Da sich zwischen Belastung und Verformung ein Phasenwinkel einstellt, d. h. die Verformung der Belastung nicht instantan folgt, muss der Elastizitätsmodul viskoelastischer Werkstoffe im Allgemeinen eine komplexe Größe sein. Die aufgeführten Folgerungen führen auf das Konzept des komplexen Elastizitätsmoduls, das im folgenden Abschnitt näher erläutert wird. 2.2 KOMPLEXER ELASTIZITÄTSMODUL Der Elastizitätsmodul E ist als das Verhältnis von Spannungsänderung Δσ zu Dehnungsänderung Δε bei quasistatischer Belastung definiert: O+P Fluidtechnik 5/2019 37

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