O+P Fluidtechnik 9/2023

̇ ̇ BERECHNUNGSMODELLE

̇ ̇ BERECHNUNGSMODELLE Gl. (4) nach C umgestellt führt zu Gl. (16). Mit dieser Gleichung kann der kritische Leitwert für Luft bei p 1 = 14.2 bar und einer Temperatur von T 1 = 20 °C berechnet werden. ṁ T C 1 p 1ϲ0 T 0 4 56.12 g / s 8 m s CL 3.33510 5 2 3 14.2 10 N / m 1.185 kg / m kg (16) Der kritische Leitwert für Wasserstoff C H2 ist bei p 1 = 14.2 bar um den Faktor 3.786 höher als der bei Luft. Jetzt steht die Aufgabe, diesen Leitwert für unterschiedliche Drücke zu ermitteln. Dafür verwenden wir die Zustandsgrössen im engsten Querschnitt, d. h. in dem Zustand, bei dem Schallgeschwindigkeit vorliegt. Diese können mit einer iterativen Berechnung ermittelt werden, siehe Flussdiagramm Bild 09. Für den Startpunkt wurde ideales Gas angenommen, sodass zu Beginn eine isentrope Zustandsänderung vorliegt, vgl. /11/. Wir verwenden die Stoffdatenbank von Kretzschmar /15/. Bei der Verwendung der Datenbank von NIST /17/ wird der Isentropenexponent k nicht ausgegeben. Dieser Wert von realen Gasen kann mit Hilfe der Gl. (17) berechnet werden, vgl. /16/. Das oft verwendete Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten gilt nur für ideale Gase. Nach Gl. (15) erfolgt nun die Berechnung des kritischen Leitwertes für Wasserstoff mit 4 4 8 7 m s m s CH p 14.2 bar3.7863.33510 1.2637 10 2 kg kg 09 Flussdiagramm zur iterativen Berechnung der Zustandsgrößen im engsten Querschnitt Ziel der Iteration ist es, den tatsächlichen Druck und die tatsächliche Temperatur im engsten Querschnitt zu ermitteln. Beginnend mit dem „idealen“ kritischen Druckverhältnis kann auf iterativem Weg berechnet werden. Mit den dazugehörigen Daten des realen Gases lässt sich jeweils für den nächsten Iterationsschritt ein neues kritisches Druckverhältnis berechnen. Im Ergebnis führt diese Methode zu einem niedrigeren Druck im engsten Querschnitt. Mit Hilfe der Enthalpie und dem Druck lässt sich die Temperatur von Wasserstoff als reales Gas ermitteln. Mit Druck und Temperatur ist auch die Dichte von Wasserstoff als reales Gas im engsten Querschnitt bekannt, siehe Flussdiagramm zur iterativen Berechnung in Bild 09. In der Strömungssimulation hat sich gezeigt, dass die örtliche Schallgeschwindigkeit auch nach dem engsten Querschnitt auftreten kann. Die Dichte von Wasserstoff kann nun als reales Gas mit Hilfe der Stoffdatenbank und auch als ideales Gas mit dem Druck und Temperatur im engsten Querschnitt mit Gl. (18) berechnet werden, Tabelle 02. FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG Startbedingungen Medium Wasserstoff H2 Eingangsdruck pp 1 = 1000 bar Eingangstemperatur TT 1 = 20°C Enthalpie h 1 = h 1 (pp 1 ; TT 1 ) Startschritt ii = 1 Starttemperatur TT 2,i = TT 1 Kritisches Druckverhältnis bb i = bb ideal Ausgangsdruck pp 2,i = pp 1 ∙ bb ii Isentropenexponent kk 2,i = f (pp 2,i ; TT 2,i ) Schallgeschwindigkeit ww 2,i = f (pp 2,i ; TT 2,i ) Enthalpie m_dot in g/s (FEM) h 2,i = h 1 − ww 2,ii ⁄ Startschritt ii = ii + 1 Starttemperatur TT 2,i = f (pp 2,i−1 ; h 2,i−1 ) Kritisches Druckverhältnis bb i = f (kk 2,i−1 ) Ausgangsdruck pp 2,i = pp 1 ∙ bb ii Isentropenexponent kk 2,i = f (pp 2,i ; TT 2,i ) Schallgeschwindigkeit ww 2,i = f (pp 2,i ; TT 2,i ) -0,0019 2 12,599 Enthalpie h 2,i = h 1 − ww 2,ii ⁄ 2 Druck bar C in m 4 s/kg (FEb mit Realgasdaten C in Nl/sbar (FEM) 5 1,2562E-07 0,34360749 5 12,5615614 12,5895 7,5 1,2542E-07 0,3435362 7,5 12,5416811 12,58475 -0,2% 10 1,2553E-07 0,33230859 1,2553E-07 10 12,5526973 12,58 -0,1% 15 1,2578E-07 0,34187214 15 12,5781828 12,5705 0,1% 20 1,2571E-07 0,32330817 20 12,571278 12,561 0,1% 25 1,2602E-07 0,34328905 25 12,6020674 12,5515 0,3% 30 1,256E-07 0,35237477 30 12,5602626 12,542 0,0% 35 1,253E-07 0,33597168 35 12,5301717 12,5325 nein -0,2% 40 1,2545E-07 0,33333657 TT 2,i−1 − TT 2,i 40 < 0.1 12,5454858 KK 12,523 -0,1% 50 1,2493E-07 0,32829777 50 12,4930954 12,504 -0,5% 200 1,2235E-07 0,31527685 200 12,2348913 12,219 -2,6% 500 1,1622E-07 0,28873068 500 11,6215448 11,649 -7,5% 800 1,1038E-07 0,27099808 800 11,0384658 11,079 -12,1% 900 1,0861E-07 0,25939864 900 10,861121 10,889 -13,5% 1000 1,0703E-07 0,25453497 1,0801E-07 1000 ja 10,7027623 -0,14797517 10,699 -14,8% Berechnung beendet 0,86045832 TT ∗ 2 = TT 2,i pp ∗ 2 = pp 2,i Dichte 0,08266007 FEA-Ergebnisse KOS 2 2 C_ber (FEM) p in bar m_dot in g/s (FEM) C in m 4 /skg (FEM) 5,198 1,2577E-07 5 7,5 7,784666667 1,2557E-07 10 10,38866667 1,2568E-07 15 15,61466667 1,2593E-07 20 20,796 1,2579E-07 25 26,05866667 1,261E-07 30 31,16666667 1,2568E-07 35 36,274 1,2538E-07 40 41,50666667 1,2553E-07 -0,186% 50 51,66666667 1,2501E-07 -0,603% 200 202,3953333 1,2243E-07 -2,657% 500 480,6226667 1,1629E-07 -7,537% 800 730,414 1,1045E-07 -12,176% 900 808,514 1,0868E-07 -13,587% 1000 885,2506667 1,071E-07 -14,847% 300 12,029 -4,17% Bild 10 10 mmmm HHHHHHHH in g/s 11 C in m 4 s/kg 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 Leitwert C H2 und Massenstrom eines H 2 -Ventils bis 1000 bar FEM-Simulation mit ANSYS CFX H 2 -Ventil - m_dot in g/s (FEM) C in m4/skg (FEM) mmmm HHHHHHHH und CCCC mit FEM-Simulation 1,4E-07 1,2E-07 1,0E-07 8,0E-08 6,0E-08 4,0E-08 2,0E-08 0 0,0E+00 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Druck p 1 in bar Leitwert C H2 eines H 2 -Ventils in Abhängigkeit vom Druck p 1 bis 1000 bar. Vergleich von FEM-Simulation und Berechnung mit Realgasdaten im engsten Querschnitt Leitwert Leitwert C eines C eines Wasserstoff-Ventil Wasserstoff-Ventils --Vergleich Vergleich FEM FEM Simulation Simulation mit Berechnung mit Berechnung Realgas im engsten Querschnitt 1,4E-07 1,4E-07 1,2E-07 1,2E-07 1,0E-07 1,0E-07 C in m 4 ּ s/kg 8,0E-08 8,0E-08 C in m4s/kg (FEM) 6,0E-08 6,0E-08 C in m4s/kg (FEM) mit Realgasdaten 4,0E-08 mit Realgasdaten Linear (mit Realgasdaten) 4,0E-08 Linear (mit Realgasdaten) 2,0E-08 2,0E-08 0,0E+00 0,0E+00 0 200 400 600 800 1000 1200 0 200 Druck 400p 1 in bar 600 800 1000 Druck p 1 in bar C in m 4 s/kg 32 O+P Fluidtechnik 2023/09 www.oup-fluidtechnik.de

BERECHNUNGSMODELLE r C 1 87 74 81 21 62 02 42 83 64 75 99 22 53 38 12 Korrekturfaktor für den Leitwert C H2 im überkritischen 13 Ermittlung des kritischen Druckverhältnisses b eines Strömungsbereich für Wasserstoff in Abhängigkeit vom H 2 -Ventils mit Hilfe einer FEM-Simulation bis zu einem Druck -0,0019 Eingangsdruck p 1 12,599 von p 1 = 1000 bar Druck bar C b C in Nl/sbar (FEM) mit Realgasdaten 5 1,2562E-07 0,34360749 5 12,5615614 12,5895 7,5 1,2542E-07 0,3435362 Korrektur-Faktor 7,5 12,5416811 für C H2 12,58475 -0,2% 10 1,2553E-07 1,020,33230859 10 12,5526973 12,58 -0,1% 12,5526973 15 1,2578E-07 0,34187214 15 12,5781828 12,5705 0,1% 20 1,2571E-07 1,000,32330817 20 12,571278 12,561 0,1% 25 1,2602E-07 0,34328905 25 12,6020674 12,5515 0,3% 30 1,256E-07 0,980,35237477 30 12,5602626 12,542 0,0% 35 1,253E-07 0,33597168 0,96 35 12,5301717 12,5325 -0,2% 40 1,2545E-07 0,33333657 40 12,5454858 12,523 -0,1% 50 1,2493E-07 0,940,32829777 50 12,4930954 12,504 -0,5% 200 1,2235E-07 0,31527685 200 12,2348913 12,219 -2,6% 500 1,1622E-07 0,920,28873068 500 11,6215448 11,649 -7,5% 800 1,1038E-07 0,27099808 800 11,0384658 11,079 -12,1% 900 1,0861E-07 0,900,25939864 900 10,861121 10,889 -13,5% 1000 1,0703E-07 0,25453497 0,88 1000 10,7027623 -0,14797517 10,699 -14,8% 10,8010729 Korrektur-Faktor für C 0,86 300 12,029 -4,17% 0,84 0,86045832 0 200 400 600 800 1000 Druck p 1 in bar b 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Kritisches Druckverhältnis b eines Wasserstoff-Ventils FEM Simulation 0 0 200 400 600 800 1000 Druck p 1 in bar b Für Wasserstoff im Hochdruckbereich kann keine lineare Abhängigkeit des Massenstroms vom Druck p 1 vorausgesetzt werden, daher ändert sich der kritische Leitwert C, er nimmt von 5 bar bis 1000 bar um 14.8 % ab, Bild 10. Mit den Daten im engsten Querschnitt, Tabelle 02, kann der kritische Leitwert C für p 1 = 1000 bar wie folgt ermittelt werden: Die Ermittlung des Dichteverhältnisses führt zu einer Korrektur von Der Leitwert C H2 im überkritischen Strömungsbereich wurde für ein Wasserstoffventil bei verschiedenen Eingangsdrücken bis zu einem Druck p 1 = 1000 bar mit dem Realgas-Materialgesetz von Soave-Redlich-Kwong mit Hilfe von FEM-Simulationen ermittelt, Bild 10 und 11. Die Abweichung zwischen Simulation und Berechnung mit der Wurzel aus dem Dichteverhältnis im engsten Querschnitt beträgt bei 1000 bar 3.2 %, Bild 11. Da der Zusammenhang nahezu linear ist, lässt sich mit einem Korrektur-Faktor als Näherung arbeiten, Bild 12. 6. DAS KRITISCHE DRUCKVERHÄLTNIS B IM HOCHDRUCKBEREICH Das kritische Druckverhältnis b wurde im Niederdruckbereich auf experimentellem Weg und mit Hilfe von FEM-Simulationen ermittelt, Bild 06 und 07 (s. Teil 1 in der Ausgabe O+P-Fluidtechnik 07-08/2023). Mit Hilfe der Realgasdaten lässt sich eine Annäherung finden für das kritische Druckverhältnis bei sehr hohem Druck. Dies soll an einem Beispiel erläutert werden. Das kritische Druckverhältnis b charakterisiert den Übergang vom überkritischen Strömungsbereich in den unterkritischen Bereich. Dieser Parameter des Modells umfasst sowohl die geometrische Gestaltung der Komponente als auch die Eigenschaften des Gases. Aus experimenteller Sicht wird darauf hingewiesen, dass dieser Übergang fliessend ist und damit auch fehlerbehaftet. Es sind Abweichungen möglich im Bereich von Δb = ±0.1. Der Einfluss auf die Kennlinie ist jedoch deutlich geringer gegenüber dem Leitwert C. Ein fehlerhafter Leitwert C führt sofort zu einer sichtbaren Änderung der Kennlinie. Da eine Messung am Ventil bei einem Eingangsdruck von p 1 = 1000 bar bisher nicht möglich war, beziehen wir uns auf eine Reihe aussagekräftiger FEM-Simulationen, die bei verschiedenen Eingangsdrücken durchgeführt wurden. Im Ergebnis jeder Simulation wurde bei verschiedenen Drücken p 1 das kritisches Druckverhältnis ermittelt, welches in Bild 13 dargestellt wurde. Im Eingangsdruckbereich bis p 1 = 50 bar kommt es zu geringfügigen Streuungen, die darauf zurückzuführen sind, dass die Strömung in diesem Druckbereich nicht stabil ist. Ab p 1 = 50 bar bis 1000 bar ist eine nahezu lineare Abhängigkeit erkennbar. Wie kann dieser Verlauf erklärt werden? Dazu verwenden wir den kritischen Druckverlauf des „idealen“ b-Wertes, der für Wasserstoff als reales Gas ermittelt werden kann nach Gl. (9), Bild 14. Aus einem Vergleich von Bild 13 und 14 wird ersichtlich, dass das kritische Druckverhältnis für das reale Gas Wasserstoff ohne Simulation, d. h. ohne Geometrieeinfluss, Bild 14, einen ähnlichen Verlauf aufweist, wie das mit Hilfe von FEM berechnete kritische Druckverhältnis, Bild 13. Die Ergebnisse der FEM- Simulation, Bild 13, berücksichtigen sowohl den Geometrieeinfluss des Ventils als auch den Einfluss des realen Gases. Eine Näherung bietet sich an, indem der Verlauf des kritischen Druckverhältnisses mit Hilfe eines Korrekturfaktors berücksichtigt wird, Bild 15. Mit dieser Korrektur wird in Abhängigkeit vom Druck p 1 das Verhalten des realen Gases berücksichtigt. Für einen Druck von Tabelle 02: Zustandsgrössen von H 2 im engsten Querschnitt für p 1 = 1000 bar, R H2 = 4124 J/kg ∙ K Im engsten Querschnitt Zustandsgrößen H 2 Reales Gas /15/ H 2 Ideales Gas mit Gl. (18) Druck = 442.8 bar Temperatur = -39.7 °C www.oup-fluidtechnik.de O+P Fluidtechnik 2023/09 33